Exercícios Resolvidos de Curvatura e Raio de Curvatura

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Enunciado

Considere a curva C definida pela função vetorial

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t , �� - t  

onde t ≥ 0 .

Calcule a curvatura de C no mesmo ponto P 0 , - 3 π , - π .

Passo 1

Cara, para achar a curvatura de um ponto é só usar a fórmulinha

k t 0 = r ' t 0 × r ' ' t 0 r ' t 0 3

r ' t 0 ,   r ' ' t 0 são as derivada de r t no ponto t 0 . E quem é t 0 ? É o valor de t para o ponto P 0 = 0 , - 3 π , - π . A gente acha ele usando a equação da nossa curva, assim:

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t

r t 0 = 3 t 0   s e n   t 0 ,   3 t 0 cos ⁡ t 0 ,   - t 0 = 0 , - 3 π , - π  

Da componente z , a gente tira a relação

- t 0 = - π ∴ t 0 = π

Daí temos que

r ' t 0 = r ' π

r ' ' t 0 = r ' ' π

Queremos calcular então

k π = r ' π × r ' ' π r ' π 3

Passo 2

Vamos calcular esses caras então:

r t = 3 t   s e n   t ,   3 t cos ⁡ t ,   - t

r ' t = 3 s e n   t + 3 t cos ⁡ t ,   3 cos ⁡ t - 3 t   s e n   t ,   - 1

r ' π = 0 - 3 π ,   - 3 ,   - 1

r ' π = - 3 π ,   - 3 ,   - 1

r ' ' t = 3 cos ⁡ t + 3 cos ⁡ t - 3 t   s e n   t ,   - 3   s e n   t - 3   s e n   t - 3 t cos ⁡ t ,   0

r ' ' π = - 6 ,   3 π ,   0

Passo 3

Vamos calcular aquele produto vetorial ali

r ' π × r ' ' π = i ^ j ^ k ^ - 3 π - 3 - 1 - 6 3 π 0 = 0 + 3 π i ^ - 0 - 6 j ^ + - 9 π 2 - 18 k ^ = 3 π , 6 , - 9 π 2 - 18

Nossa fórmulinha fica:

k π = r ' π × r ' ' π r ' π 3

Calculando separadamente umas coisinhas

r ' π × r ' ' π = 3 π , 6 , - 9 π 2 - 18

r ' π × r ' ' π = 3 π 2 + 6 2 + - 9 π 2 - 18 2

r ' π = - 3 π ,   - 3 ,   - 1

r ' π 3 = - 3 π 2 + - 3 2 + - 1 2 3

r ' π 3 = 9 π 2 + 10 3 = 9 π 2 + 10 3 2

Agora é montar a bonita da curvatura:

k π = 3 π 2 + 6 2 + - 9 π 2 - 18 2 9 π 2 + 10 3 2

Resposta

k π = 3 π 2 + 6 2 + - 9 π 2 - 18 2 9 π 2 + 10 3 2

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