Exercícios Resolvidos de Curvatura e Raio de Curvatura

Diomara Pinto e Maria Cândida Ferreira Morgado, Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis, 3ª ed. Rio de Janeiro: UFRJ, 2009, p.45. questão 6.

As equações paramétricas da trajetória de um cometa são dadas em função do tempo por:

σ t = 200 cos t , 10 sen t ,   0 t 2 π

Onde 200 e 10   são medidas expressas em unidades astronômicas (U.A.)

  1. Calcule a curvatura da orbita num ponto qualquer da mesma
  2. Encontre os pontos de máximo e mínimo para a curvatura. (Sugestão: o máximo (mínimo) da curvatura κ é o mínimo (máximo) do raio de curvatura R ).

Passo 1

a )

Para calcular a curvatura da órbita, vamos usar a fórmula

κ = σ ' t × σ ' ' t σ ' t 3

σ ' t = - 200 sen t , 10 cos t

σ ' ' t = - 200 cos t , - 10 sen t

σ ' t = - 200 sen t 2 + 10 cos t   2 = 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos calcular esse produto vetorial:

i j k - 200 s e n   t 10 cos t 0 - 200 cos t - 10 s e n   t 0 = + 2000 s e n 2 t   k + 2000 c o s 2 t   k = 0,0 , 2000

Passo 3

Só substituir!

κ = 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 = 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 2          

Passo 4

b )

Beleza agora pra encontrar os pontos de máximo e mínimo para a curvatura, vamos usar uma malandragem aqui pra poder fica mais fácil maximizar e minimizar o raio de curvatura. Repara que:

40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t = 39900 s e n t 2 t + 100 s e n 2 t + 100 c o s 2 t = 39900 s e n 2 t + 100

Então

κ = 2000 39900 s e n 2 t + 100 3 2

E, como o raio de curvatura é o inverso da curvatura:

R = 39900 s e n 2 t + 100 3 2 2000

Agora eles dependem só de s e n ² t , que a gente já sabe que é uma função limitada:

0 s e n 2 t 1

Então, agora fica mais fácil usar a dica que a questão nos deu, de que a curvatura será máxima quando o raio de curvatura for mínimo e a curvatura será mínima quando o raio de curvatura for máximo.

Passo 5

O raio de curvatura será mínimo quando s e n ² t for mínimo, concorda?

Ou seja

s e n 2 t = 0

sen t = 0

t = 0

t = π

t = 2 π

Logo, os pontos de mínimo do raio de curvatura são:

σ 0 = σ ( 2 π ) = 200 cos 0 , 10 sen 0 = ( 200,0 )

σ π = 200 cos π , 10 sen π = ( - 200,0 )

Passo 6

E o raio de curvatura será máximo quando s e n ² t for máximo, né?

Ou seja

s e n 2 t = 1

sen t = 1 = ± 1

t = π 2

t = 3 π 2

Logo, os pontos de máximo do raio de curvatura são:

σ π 2 = 200 cos π 2 , 10 sen π 2 = 0,10

σ 3 π 2 = 200 cos 3 π 2 , 10 sen 3 π 2 = ( 0 , - 10 )

Passo 7

Como o que queremos saber são os pontos de máximo e mínimo da curvatura e sabemos que eles correspondem ao mínimo e máximo do raio de curvatura, nossa resposta será:

Pontos de máximo da curvatura:

200,0

( - 200,0 )

Que são os pontos de mínomo do raio de curvatura

Pontos de mínimo da curvatura:

0,10

( 0 , - 10 )

Que são os pontos de máximo do raio de curvatura.

Resposta

  1. 2000 40000 s e n 2 t + 100 c o s 2 t 3 2
  2. Pontos de máximo da curvatura:

200,0

( - 200,0 )

Pontos de mínimo da curvatura:

0,10

( 0 , - 10 )

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