Exercícios Resolvidos de Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão Desconhecido

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Enunciado

Um abaixo assinado é feito em uma determinada municipalidade para pedir à autoridade competente que seja realizada uma grande obra de interesse público. As assinaturas foram coletadas em 600 folhas. Para obter uma estimativa rápida do número total de assinaturas coletadas, foram contadas as assinaturas que constam em 25 folhas escolhidas ao acaso, tendo-se obtido valores x 1 , x 2 , … , x 25 tais que:

∑ x i = 728                                     e                                 ∑ x i 2 = 27185

Use os resultados obtidos a partir dessa primeira amostragem para dimensionar uma outra amostra aleatória que permita estimar o número total de assinaturas com um erro menor que mil, com probabilidade 95 % .

Passo 1

O número total de assinaturas é N μ , ou seja, 600 vezes o valor esperado de assinaturas por folha, mas a gente não conhece esse valor.

Um bom estimador pra esse valor é N x ¯ .

Bom, precisamos estimar com um erro menor que mil e probabilidade de 95%.

P N x ¯ - N μ < d = 1 - α

Melhorando o que a gente tem ali em cima:

P N x ¯ - μ < d = 1 - α

A gente viu no conteúdo que V a r x ¯ = σ 2 n , onde n = 25 é o número de folhas da amostra que a gente tem, logo pelas propriedades da variância.

V a r N x ¯ = N 2 σ 2 n

Então D P N x ¯ = N σ n .

Passo 2

Dividindo dos dois lados ali pelo valor do desvio padrão de N x ¯ .

P N x ¯ - μ N σ n < d N σ n = 1 - α

Padronizando:

P Z < d N σ n = 1 - α

Isso nos leva a:

2 Φ d N σ n - 1 = 1 - α

Φ d N σ n = 1 - α 2

d N σ n = z 1 - α 2

E então:

n = N . σ . z 1 - α 2 d 2

Eu fiz aqui a mesma coisa que a gente viu no conteúdo, só que aqui o nosso estimador é diferente, é N x ¯ .

Passo 3

Sabendo que d = 1000 e 1 - α = 0,95 .

Calculamos α e z 1 - α 2 .

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Passo 4

Nós temos um caso de dimensionamento de amostra com σ desconhecido, concorda?

Vamos usar então a fórmula, substituindo σ por s :

n = N . s . z 1 - α 2 d 2

E vamos então calcular o desvio padrão amostral s .

Lembrar que:

s 2 = ∑ x i 2 - n . x ¯ 2 n - 1

Vamos usar os dados do problema:

∑ x i 2 = 27185

x ¯ = ∑ x i n = 728 25 = 29,12

Já que a amostra tem n = 25 folhas.

Com isso:

s 2 = 27185 - 25 × 29,12 2 24 = 249,4

s = 15,79   f o l h a s

Passo 5

Agora é substituir na fórmula:

n = N . σ . z 1 - α 2 1000 2

n = 600 × 15,79 × 1,96 1000 2

n = 344,8

Como n é inteiro.

n = 345

Resposta

n = 345

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