Exercícios Resolvidos de Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão Desconhecido

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Enunciado

Numa linha de produção se precisa estimar a proporção de peças defeituosas. Existem dois tipos de defeitos: A e B. Sejam p A a proporção de peças que apresentam o defeito A e p B a proporção de peças que apresentam o defeito B. Deseja-se que as estimativas não se desviem das proporções verdadeiras, tanto para p A quanto para p B , por mais de 0,08 com probabilidade de 98%.

(a) Sem nenhum conhecimento prévio, quantas peças se precisa examinar para satisfazer as exigências na estimativa da proporção pA?

(b) Foi verificado que o tipo de defeito B afeta no máximo 20% das peças. Quantas peças se precisa examinar para satisfazer as exigências?

(c) Numa única amostra, quantas peças se precisa examinar para se satisfazer as duas exigências conjuntamente, tanto para pA quanto para pB?

(d) Repita o que foi feito no item (c), porém agora sendo um pouco mais tolerante com a precisão na estimação de pA: o erro absoluto deve ser menor que 0,12 com 95% de probabilidade

Passo 1

(a) A fórmula para o tamanho da amostra mínimo para satisfazer as exigências é dada por

n   =   ( z 1 - α / 2 d ) 2 ⋅ p ⋅ ( 1 - p )

onde:

d é o erro máximo tolerável.

p é a proporção estimada.

z 1 - α / 2 é o valor na tabela da normal-padrão

Passo 2

No nosso caso, temos:

d = 0,08

Como não temos nenhuma informação sobre p , o valor que temos que usar é p = 0,5 . Sempre que não soubermos uma estimativa para p , usamos esse valor!

Como foi dado que 1 - α = 0,98 , temos que 1   -   α 2 = 0,99 .

Assim, z 1 - α / 2 = 2,33 (de novo, esse valor nós achamos olhando na tabela!)

Passo 3

Agora vamos substituir na nossa fórmula para achar o n :

n A   =   ( 2,33 0,08 ) 2 ⋅ ( 0,5 ) ⋅ ( 1 - 0,5 )   = 212,07   ≈ 213 .  

Só uma observação: aqui aproximamos para 213 porque o valor 212 não garante que as exigências serão satisfeitas, tem que aproximar para cima.

Passo 4

(b) Agora ele deu uma estimativa para p → p   =   0,2 . Então usamos a mesma fórmula com esse novo p .

n B   =   ( 2,33 0,08 ) 2 ⋅ ( 0,2 ) ⋅ ( 1 - 0,2 )   = 135,72   ≈ 136 .  

Passo 5

(c) Para satisfazer as duas exigências, a gente tem que pegar o maior entre os valores achados no item (a) e no item (b) (lembra que os tamanhos que encontramos são os mínimos para satisfazer cada exigência)

Assim, n   =   213

Passo 6

Repetimos o que fizemos antes com a mesma fórmula, agora só alterando os parâmetros para n A :

n A   =   ( 1,96 0,12 ) 2 ⋅ ( 0,5 ) ⋅ ( 1 - 0,5 )   = 66,39 ≅ 66 .  

Agora temos que pegar o maior valor entre 66 e 136, que é 136.

Resposta

(a) 213

(b) 136

(c) 213

(d) 136

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