Exercícios Resolvidos de Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão Desconhecido

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Enunciado

Foi realizado um procedimento de amostragem envolvendo a coleta de dados relativos a determinada população , que levaram à construção simultânea de dois intervalos de confiança: um deles para a média populacional µ da variável X   definida em (com base em uma amostra de tamanho nµ) e o outro para a proporção p dos elementos de com certa característica (com base em uma amostra de tamanho np). Ocorre que, em todos os três itens a seguir, a razão entre a amplitude do intervalo de confiança e a estimativa pontual do parâmetro resultou ser exatamente a mesma, tanto no caso de se estimar µ como no caso de se estimar p , ou seja,

A m p l i t u d e   d o   I C   p a r a   μ E s t i m a t i v a   d e   μ = A m p l i t u d e   d o   I C   p a r a   μ E s t i m a t i v a   d e   p

(a) Calcule o valor da média amostral x - , se: γ μ   =   1   - α μ   =   1   - α p   =   γ p (ou seja, se os níveis de confiança dos 2   I C ’ s s˜ao iguais); n µ   =   n p (os tamanhos amostrais são iguais); σ   =   3 , 2 (o desvio padrão populacional de X é 3,2 ); p ^ = 0,9 (a proporção amostral é igual a 0,9 ); e o I C para p é não conservativo (não conservador).

(b) Determine o nível de confiança γ p = 1   - α p do I C para a proporção p , se: n µ   =   n p   =   15 ; a v.a. X segue um modelo Normal; σ é desconhecido; s / x   =   2 (o coeficiente de variação amostral de X é igual a 2 ); γ µ =   1 - α µ = 0 , 95 (o nível de confiança do I C para µ é 0,95 ); p ^ = 0,15 ; e o IC para p é conservativo (conservador).

(c) Determine o tamanho de amostra n µ usada para estimar µ se: γ µ = 1 - α µ = 1 - α p =   γ p ;   n p = 100 ; p ^ = 0,9 ; o I C para p é conservativo (conservador); σ μ   ≈   0 , 5 (o coeficiente de variação populacional de X é aproximadamente igual a 0,5 ); x - ≈   µ (a média amostral está muito próxima da média populacional); e σ é conhecido.

Passo 1

a) Nessa primeira letra aqui, temos que calcular o valor da média amostral x - !

Se liga só! A gente tem a seguinte fórmula abaixo...

z 1 - α 2 × σ n x -

Essa fórmula pode ser reescrita como...

z 1 - α 2 × σ n x - = z 1 - α 2 × p ^ ( 1 - p ^ ) n p ^

Rearranjando...

z 1 - α 2 × σ n x - = z 1 - α 2 × p ^ ( 1 - p ^ ) n p ^

σ n x - = p ^ ( 1 - p ^ ) n p ^

σ x - = ( 1 - p ^ ) p ^

Isolando x - :

x - = σ p ^ ( 1 - p ^ )

E uma vez que p ^ = 0,9 ...

x - = 3,2 ⋅ 0,9 0,1

x - = 3,2 ⋅ 3

x - = 9,6

Passo 2

b) Nesse segundo item, a gente tem que...

γ μ = 1 - α μ = 0,95

α μ = 0,05

Logo,

1 - α μ 2 = 1 - 0,05 2 = 0,975

Sendo assim, olhando a tabela, ficamos com...

t 1 - α μ 2 = t 0,975 = 2,145

E uma vez que o número de graus de liberdade é igual a 15   -   1   =   14 ...

t 1 - α 2 × s n x - = z 1 - α p 2 × 1 4 n p ^

Rearranjando, ficamos com...

z 1 - α p 2 = 2 t 1 - α 2 ⋅ s x - ⋅ p ^

Desse jeito, substituindo os valores numéricos...

z 1 - α p 2 = 2 t 1 - α 2 ⋅ s x - ⋅ p ^

z 1 - α p 2 = 2 ⋅ 2,145 ⋅ 2 ⋅ 0,15

z 1 - α p 2 = 1,287

Logo,

1 - α 2 = 0,90 ⇒ 1 - α p = 0,80

Passo 3

c) E pra finalizar, falta determinar o tamanho de amostra n µ usada para estimar µ .

Ora bolas! Vamos recorrer à fórmula abaixo...

z 1 - α 2 × σ n μ x - = z 1 - α p 2 × 1 4 n p p ^

Isolando n μ :

n μ = 4 n p ⋅ p ^ ⋅ σ μ ⋅ μ x - 2

E substituindo os valores numéricos...

n μ = 4 n p ⋅ p ^ ⋅ σ μ ⋅ μ x -

n μ ≈ 4 ⋅ 100 ⋅ 0,9 ⋅ 0,5 ⋅ 1 2

n μ ≈ 81

Obtemos que n μ está mais ou menos pertinho de 81 !

Resposta

a   x - = 9,6

b   1 - α 2 = 0,90 ⇒ 1 - α p = 0,80

c   n μ ≈ 81

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