Exercícios Resolvidos de Dimensionamento da Amostra com Desvio Padrão Desconhecido

P2- 2013.2 – UFRJ Dimensionamento de amostras

Os dados abaixo correspondem a medições do QI (Quociente de Inteligência) para uma amostra de 30 pessoas.

117 106 106 100 90 91 130 96 98 99 112 130 102 101 94

100 126 83 106 121 79 103 126 78 79 97 100 93 103 107

Deseja-se estimar a média populacional μ dessa variável, supondo distribuição Normal.

  1. Qual a probabilidade de que o erro absoluto na estimação com base nessa amostra seja inferior a 3 unidades?
  2. Qual seria o tamanho de uma nova amostra para que, com 95% de probabilidade, o erro absoluto de estimação seja inferior a 3 unidades?

Obs.: Para facilitar os cálculos, informa-se que: ∑ x i = 3073   e ∑ x i 2 = 320757 .

Passo 1

(a)

Queremos calcular:

P x ¯ - μ < 3 =   ?

Onde d = 3 e n = 30 . O problema é que a gente não conhece σ , vamos ter que calcular s e usar a tabela de t   d e   s t u d e n t .

Padronizando essa merda aí, fica assim:

P x ¯ - μ s 30 < 3 s 30 =   ?

P T < 3 30 s =   ?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calcular s   a partir dos dados amostrais:

s 2 = ∑ x i 2 - n ⋅ x ¯ 2 n - 1

Substituindo os valores e fazendo os cálculos necessários, você vai encontrar.

s = 14,36

Passo 3

Agora ficamos com:

P T < 3 30 14,36 =   P T < 1,144 =   ?

Se você usar a tabela t   d e   s t u d e n t com 29 graus de liberdade, você vai ver que esse valor não estará em seu interior, mas vai estar entre 0,854 e 1,311. Como P ( 0,854 ) = 0,8 e P 1,311 = 0,9 , vamos ver o intervalo onde vai estar a probabilidade:

Se   t = 0,854 : P T < 0,854 = 2 × 0,8 - 1 = 0,6

Se   t = 1,311 : P T < 1,311 = 2 × 0,9 - 1 = 0,8

Como 0,854 < 1,144 < 1,311 , a gente consegue perceber que 0,6 < P T < 1,144 < 0,8 .

Porém, como temos n = 30 , vamos considerar como sendo um valor alto e aproximar pela Normal.

P T < 1,144 ≈ P Z < 1,144

P Z < 1,144 = 2 Φ 1,144 - 1

                                                          = 2 × 0,8729 - 1

                          = 0,7458

Passo 4

(b)

Questão de dimensionamento de amostra com σ desconhecido. A principio teríamos que usar t   d e   s t u d e n t , mas como já vimos, n pode ser considerado suficientemente grande pra aproximarmos pela Normal.

A fórmula pra n nesse caso é:

n = z 1 - α 2 ⋅ s d 2

De acordo com o enunciado:

1 - α = 0,95 → α = 0,05

z 1 - α 2 = z 0,975 = 1,96

Substituindo os valores:

n = 1,96 × 14,36 3 2

n = 88

Resposta

a   0,7458

b   n = 88

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