Exercícios Resolvidos de Distribuição e Concentração de Tensões

Ver Teoria

Enunciado

O corpo de prova de alumínio mostrado está submetido a duas forças iguais axiais, opostas e centradas de intensidade P . ( a ) Sabendo que E = 70   G P a e σ a d m = 200   M P a , determine o máximo valor admissível de P e o correspondente alongamento total do corpo de prova. ( b ) Resolva a parte a , considerando que o corpo de prova foi substituído por uma barra de alumínio de mesmo comprimento e seção retangular uniforme de 60   ×   15   m m .

Observação: Use o gráfico abaixo para determinar o coeficiente de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

O corpo de prova é composto por três segmentos:

  • Dois segmentos iguais nas extremidades, cada um com um comprimento L 1 = 150   m m e uma área de seção transversal A 1 = 75   m m   ×   15   m m ;
  • E um segmento central de comprimento L 2 = 300   m m e área de seção transversal A 2 = 60   m m   ×   15   m m ;

Além disso as forças de tração P geram ao longo de todo o corpo de prova uma força interna normal N = P .

Essa força normal N gera nos diferentes segmentos do corpo tensões normais médias σ m é d e variações de comprimento δ :

σ m é d = N A

&

δ = N L E A

Agora, vai haver uma concentração de tensões nos adoçamentos de raio r = 6   m m entre as regiões de largura D = 75   m m e d = 60   m m do corpo.

Por causa dessa concentração de tensões, a tensão normal máxima no corpo σ m á x vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde:

  • σ m é d deve ser calculada para a região com a menor área de seção transversal (a região central de área A 2 = 60   m m   ×   15   m m );
  • E K é um coeficiente que deve ser determinado usando o gráfico fornecido:

O corpo de prova é feito de um alumínio com módulo de elasticidade E = 70   G P a e tensão admissível σ a d m = 200   M P a .

E o que é que o exercício quer?

No item ( a ) , ele quer que a gente determine o valor máximo admissível de P nesse corpo de prova e a variação de comprimento δ correspondente.

O valor máximo admissível de P é aquele em que a tensão máxima na peça ainda é menor ou igual à tensão admissível, ou seja:

σ m á x ≤ σ a d m

Já a variação de comprimento δ vai ser a soma das variações de comprimento δ 1 de cada um dos dois segmentos iguais com a variação de comprimento δ 2 do segmento central:

δ = 2 δ 1 + δ 2

Já no item ( b ) , ele quer saber mais uma vez o valor máximo admissível de P e a variação de comprimento δ correspondente.

Mas dessa vez supondo que o corpo é feito de um segmento só de comprimento L = 600   m m e área de seção transversal A = 60   m m   ×   15   m m .

Como não vai haver concentração de tensões, a tensão máxima na peça vai ser a própria tensão normal média, e a condição que vamos usar para encontrar P vai ser:

σ m é d ≤ σ a d m

Já a variação de comprimento δ vai ser encontrada usando a mesma fórmula de sempre:

δ = N L E A

Passo 2

Então primeiro, para encontrar a força P máxima admissível no corpo de prova original do item ( a ) , vamos aplicar a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Substituindo σ m á x = K σ m é d e σ m é d = N / A , temos que:

K N A ≤ σ a d m

Sabemos que a força interna normal N em toda a peça é igual à tração P .

E sabemos que σ m é d deve ser calculada para a região com a menor área de seção transversal (a região central de área A 2 = 60   m m   ×   15   m m ).

Tendo isso em mente, a nossa condição fica assim:

K P A 2 ≤ σ a d m

Queremos encontrar a força P máxima, então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m A 2 K

Agora, antes de prosseguirmos, precisamos determinar o valor do coeficiente K .

Passo 3

Para encontrar K , vamos olhar para o seu gráfico:

Vemos que precisamos definir a razão entre as larguras D / d e a razão entre o raio de adoçamento e a largura menor r / d .

Calculando essas razões, encontramos que:

D d = 75   m m 60   m m = 1,25

E que:

r d = 6   m m 60   m m = 0,10

Agora, quando vamos tentar escolher a curva do gráfico para D / d = 1,25 , vemos que essa curva não existe.

Então vamos ter que encontrar um valor aproximado para K : vamos fazer a média entre os valores encontrados usando as curvas mais próximas D / d = 1,2 e D / d = 1,3 .

Inserindo no gráfico a razão r / d = 0,10 , encontramos que para a curva D / d = 1,2 , K ≅ 1,9 , e que para a curva D / d = 1,3 , K ≅ 2,0 .

Assim, podemos aproximar que, para o nosso caso, o coeficiente de concentração de tensões K vai ser:

K ≅ 1,95

(Esse é o valor necessário para encontrar o gabarito do exercício, mas, se você tiver estimado outro valor próximo, a sua resposta também estará certa!)

Passo 4

Voltando para a expressão que tínhamos encontrado para a força P máxima no corpo de prova:

P ≤ σ a d m A 2 K

E substituindo:

  • σ a d m = 200   M P a = 200   N / m m 2 ;
  • A 2 = 60   m m   ×   15   m m ;
  • E K = 1,95 ,

Encontramos que:

P ≤ 92307   N = 92,3   k N

Ou seja, o valor máximo admissível da força P nesse corpo de prova é P = 92,3   k N .

Passo 5

Agora, podemos usar o valor encontrado para P para determinar a variação de comprimento δ correspondente no corpo de prova.

Primeiro, sabemos que δ vai ser a soma das variações de comprimento δ 1 de cada um dos dois segmentos iguais com a variação de comprimento δ 2 do segmento central:

δ = 2 δ 1 + δ 2

Esses segmentos têm a mesma força normal N e o mesmo módulo de elasticidade E , mas comprimentos L e áreas de seção transversal A diferentes.

Então aplicando a fórmula δ = N L / E A para esses segmentos, vamos ter:

δ = 2 N L 1 E A 1 + N L 2 E A 2

Colocando N / E em evidência, temos:

δ = N E 2 L 1 A 1 + L 2 A 2

E como a força normal N em toda a peça é igual à tração P , temos que:

δ = P E 2 L 1 A 1 + L 2 A 2

Substituindo nessa expressão os valores:

  • P = 92,3   k N ;
  • E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 ;
  • L 1 = 150   m m e A 1 = 75   m m   ×   15   m m ;
  • & L 2 = 300   m m e A 2 = 60   m m   ×   15   m m ,

Encontramos que:

δ = 0,791   m m

E assim terminamos o item ( a ) !

Passo 6

Em seguida, para encontrar a força P máxima admissível no corpo de prova modificado do item ( b ) , vamos aplicar a condição:

σ m é d ≤ σ a d m

Substituindo a fórmula da tensão normal média, temos:

N A ≤ σ a d m

Como a força normal N ao longo de todo o corpo de prova é igual à tração P , temos que:

P A ≤ σ a d m

Queremos encontrar a força P máxima, então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m A

Como o corpo de prova modificado do item ( b ) vai ter uma única área de seção transversal A = 60   m m   ×   15   m m , podemos substituir essa área aqui.

Fazendo essa substituição e substituindo também σ a d m = 200   M P a = 200   N / m m 2 , encontramos que:

P ≤ 180000   N = 180,0   k N

Ou seja, a força P máxima admissível no corpo de prova do item ( b ) é P = 180,0   k N .

Passo 7

Por fim, para encontrar a variação de comprimento δ correspondente no corpo de prova do item ( b ) , usando a fórmula:

δ = N L E A

Substituindo nela os valores:

  • N = P = 180,0   k N ;
  • L = 600   m m ;
  • E = 70   G P a = 70   k N / m m 2 ;
  • & A = 60   m m   ×   15   m m ,

Encontramos que:

δ = 1,714   m m

E assim finalizamos o item ( b ) e o exercício como um todo!

Resposta

a   P ≅ 92,3   k N ; δ = 0,791   m m .

&

b   P = 180,0   k N ; δ = 1,714   m m .

Exercícios de Livros Relacionados

A distribuição de tensão resultante ao longo da seção A B para a barra é mostrada na figura. Por essa distribuição, determine o valor aproximado da força axial resultante P aplicada à barra. Além diss
A distribuição de tensão resultante ao longo da seção A B para a barra é mostrada na figura. Por essa distribuição, determine o valor aproximado da força axial resultante P aplicada à barra. Além diss
Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra. A barra é feita de aço e tem tensão admissível σ a d m = 147MPa .
A chapa de aço A- 36 tem espessura de 12mm . Se houver filetes de rebaixo em B e C , e σ a d m = 150MPa , determine a carga axial máxima P que ela pode suportar. Calcule o alongamento da chapa desprez
A barra de aço tem as dimensões mostradas na figura. Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada de modo a não ultrapassar uma tensão de tração admissível σ a d m = 150MPa .