Enunciado

Determine a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra. A barra é feita de aço e tem tensão admissível σ a d m = 147   M P a .

Observação: Use os gráficos abaixo para determinar os coeficientes de concentração de tensão K :

Passo 1

O que está acontecendo?

A barra tem uma espessura e = 4   m m e está submetida a uma força axial de tração P , que gera ao longo dela uma força interna normal N = P .

A tensão normal nessa barra vai ser máxima em um dos dois concentradores de tensões existentes.

O primeiro concentrador de tensões é um furo de diâmetro d = 15   m m em uma região de largura w = 37,5   m m .

Originalmente, a área A da seção transversal dessa região era igual à largura w vezes a espessura e .

Mas por causa do furo de diâmetro d , a largura efetiva da seção transversal que passa bem no meio do furo vai ser igual à ( w - d ) .

Dessa forma, a área dessa seção vai ser:

A = w - d e

Com isso, a tensão normal média σ m é d = N / A nessa seção vai ser igual à:

σ m é d = N w - d e

Mas essa é só a tensão normal média.

Também por causa do furo, vai haver uma concentração de tensões de tal forma que a tensão normal máxima σ m á x nessa região vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde K é um coeficiente que pode ser encontrado no gráfico abaixo inserindo o valor da razão r / w (onde r é o raio do furo, que igual à metade de seu diâmetro d ):

Já o segundo concentrador de tensões é o adoçamento de raio r = 5   m m entre uma região menor de largura h = 25   m m e uma região maior de largura w = 37,5   m m .

Na região desse concentrador de tensões, a maior tensão normal média σ m é d vai ser a que ocorre na região com a largura menor h = 25   m m .

Nessa região, vamos ter uma área A de seção transversal igual à largura h vezes a espessura e , de tal forma que:

σ m é d = N A = N h e

Mas mais uma vez, essa é só a tensão normal média. A tensão normal máxima σ m á x vai ser:

σ m á x = K σ m é d

Onde K é um coeficiente que deve ser encontrado inserindo as razões w / h e r / h no gráfico abaixo:

E o que é que o exercício quer?

Ele quer que a gente descubra o valor máximo admissível da carga P tendo em mente que o material possui uma tensão admissível σ a d m = 147   M P a .

Para descobrir isso, vamos ter que aplicar, para cada um dos dois concentradores de tensões, a condição de projeto:

σ m á x ≤ σ a d m

Desenvolvendo essa condição de projeto, vamos poder encontrar a carga máxima P de acordo com cada concentrador de tensões.

O valor máximo admissível de P para a barra como um todo vai ser o menor dos valores máximos de P que forem encontrados para cada concentrador de tensão.

Passo 2

Então vamos começar estudando o primeiro concentrador de tensões: o furo.

Começamos aplicando a condição:

σ m á x ≤ σ a d m

Substituindo σ m á x = K σ m é d , temos:

K σ m é d ≤ σ a d m

E substituindo a fórmula da tensão normal média σ m é d = N / A , temos:

K N A ≤ σ a d m

Aqui, sabemos:

  • Que a força interna normal N em toda a barra é igual à carga axial P ;
  • E que, como vimos no Passo 1, a área A da seção transversal da região do furo é igual à w - d e .

Substituindo esses valores, temos que:

K P w - d e ≤ σ a d m

Queremos encontrar o valor máximo da carga P , então devemos isolá-la:

P ≤ σ a d m w - d e K

Nessa expressão, só não conhecemos o valor do coeficiente K .

Então vamos encontrá-lo!

Passo 3

Para encontrar o valor do coeficiente K para esse furo, vamos olhar para o seu gráfico:

Vemos que para encontrar K , precisamos conhecer o valor da razão r / w .

O nosso furo tem um diâmetro d = 15   m m , então ele tem um raio r = d / 2 = 7,5   m m .

Como a região do furo tem uma largura w = 37,5   m m , então a razão r / w vai ficar assim:

r w = ( 7,5   m m ) ( 37,5   m m ) = 0,2

Inserindo esse valor no gráfico:

Encontramos que o coeficiente de concentração de tensões K para esse furo é:

K = 2,45

Passo 4

Agora que sabemos o valor de K , podemos voltar para a expressão que tínhamos encontrado para a carga P :

P ≤ σ a d m w - d e K

Substituindo os valores:

  • σ a d m = 147   M P a = 14 7   N / m m 2 ;
  • w = 37,5   m m , d = 15   m m e e = 4   m m ;
  • & K = 2,45 ,
  • Encontramos que:

    P ≤ 5400   N

    Ou seja, de acordo com a concentração de tensões no furo, a carga P máxima admissível é:

    P m á x f u r o = 5400   N = 5,4   k N

    Passo 4

    Em seguida, vamos estudar o segundo concentrador de tensões: o adoçamento.

    Começamos aplicando a condição:

    σ m á x ≤ σ a d m

    Substituímos σ m á x = K σ m é d e σ m é d = N / A , encontrando que:

    K N A ≤ σ a d m

    Aqui, sabemos que a força interna normal N em toda a barra é igual à carga axial P .

    Além disso, queremos estudar o lado do adoçamento com a menor área A de seção transversal, que é a região com a largura menor h e com a área menor A = h e .

    Então temos que:

    K P h e ≤ σ a d m

    Queremos encontrar a carga P máxima, então devemos isolá-la:

    P ≤ σ a d m h e K

    Nessa expressão, só não conhecemos o valor de K , então vamos encontrá-lo!

    Passo 5

    Para encontrar o valor do coeficiente K para esse adoçamento, vamos olhar para o seu gráfico:

    Vemos que para encontrar K , precisamos conhecer o valor das razões w / h e r / h .

    Calculando essas razões, encontramos que:

    w h = 37,5   m m 25   m m = 1,5

    &

    r h = 5   m m 25   m m = 0,2

    Selecionando a curva para w / h = 1,5 e inserindo o valor da razão r / h = 0,2 no gráfico:

    Encontramos que:

    K = 1,75

    Passo 6

    Agora que conhecemos K , voltamos para a expressão encontrada para a carga P :

    P ≤ σ a d m h e K

    Substituindo os valores:

  • σ a d m = 147   M P a = 14 7   N / m m 2 ;
  • h = 25   m m e e = 4   m m ;
  • & K = 1,7 5 ,

Encontramos que:

P ≤ 8 400   N

Ou seja, de acordo com a concentração de tensões no adoçamento, a carga P máxima admissível é:

P m á x a d o ç a m . = 8 400   N = 8,4   k N

Vemos que a carga P máxima admissível para o furo P m á x f u r o = 5,4   k N é menor.

Então para garantir a segurança das regiões do furo e do adoçamento, P m á x f u r o = 5,4   k N deve ser a carga máxima admissível para toda a barra.

Ou seja, a força axial máxima P que pode ser aplicada à barra é:

Resposta

P = 5,4   k N

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