Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

Ver Teoria

Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = g ( t )

y 0 = 3

y ' 0 = - 1

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace á EDO:

L y ' ' + 4 y ( s ) = L [ g t ] ( s )

L y ' ' s + 4 L y ( s ) = L [ g t ] ( s )

Aplicando a propriedade da transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Temos

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 4 L y ( s ) = L [ g t ] ( s )

Passo 2

Agora vamos substituir as condições iniciais e isolar L y ( s ) . Temos y 0 = 3 , y ' 0 = - 1 .

s 2 L y s - 3 s + 1 + 4 L y ( s ) = L [ g t ] ( s )

( s 2 + 4 ) L y s = L g t s + 3 s - 1

L y s = L g t s s 2 + 4 + 3 s s 2 + 4 - 1 s 2 + 4

Passo 3

Agora precisamos reconhecer y pela sua transformada. Já vemos que a segunda fração é uma transformada de cosseno e a terceira de seno. Temos o seguinte:

s s 2 + 4 = L cos ⁡ 2 t ( s )

1 s 2 + 4 = 1 2 L sen ⁡ 2 t ( s )

Substituindo na expressão, temos:

L y s = L g t s s 2 + 4 ⏟ L f ( s ) + 3 L cos ⁡ 2 t ( s ) - 1 2 L sen ⁡ 2 t ( s )

Faltou a primeira fração, não é? Como nem sabemos a expressão de g ( t ) , não tem jeito, temos que usar convolução aqui. Vamos chamar essa parte que sobrou de L [ f ] ( s ) , olha só:

L [ f ] ( s ) = L g t s ∙ 1 s 2 + 4

Assim, podemos dizer que

f = g ( t ) * 1 2 s e n 2 t

Para calcular esse produto, usamos sua definição:

f = 1 2 ∫ 0 t g t - τ s e n ( 2 τ ) d τ

Portanto, temos o seguinte:

L y s = L 1 2 ∫ 0 t g t - τ s e n 2 τ d τ ( s ) + 3 L cos ⁡ 2 t ( s ) - 1 2 L sen ⁡ 2 t ( s )

Podemos dizer então:

y = 1 2 ∫ 0 t g t - τ s e n ( 2 τ ) d τ + 3 cos ⁡ ( 2 t ) - 1 2 s e n ( 2 t )

Resposta

y = 1 2 ∫ 0 t g t - τ s e n ( 2 τ ) d τ + 3 cos ⁡ ( 2 t ) - 1 2 s e n ( 2 t )

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a transformada de Laplace da função dada. f ( t ) = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) c o s ( τ ) d τ
Mostre que f ∗ f não precisa ser não negativa usando o exemplo f ( t ) = s e n ( t ) .
Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a tr
Prove a comutatividade, a distributividade e a associatividade para a convolução. ( a )f * g = g * f ( b )f * ( g 1 + g 2 ) = f * g 1 + f * g 2 ( c )f * ( g * h ) = ( f * g ) * h
Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução: F s = 1 s + 1 2 s 2 + 4