Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

UFF – Equações – Lista 5 – exercício 3

Use transformada de Laplace para resolver a equação funcional

f t + 0 t t - τ f τ d τ = t

Passo 1

Vamos aplicar transformada de Laplace aí e ver o que temos:

L f t + 0 t t - τ f τ d τ = L t

L f t + L 0 t t - τ f τ d τ = L t

Vamos fazer:

L f t = F s

Para facilitar nossa vida. Então:

F s + L 0 t t - τ f τ d τ = L t

Lembrando que:

L t = 1 s 2

F s + L 0 t t - τ f τ d τ = 1 s 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Repara que aquela integral é a convolução de:

t * f ( t )

Já que:

t * f t = 0 t t - τ f τ d τ

Pelo teorema da convolução:

L h t * g t = L { h ( t ) } L { g ( t ) }

Então:

L 0 t t - τ f τ d τ = L t . L f t = 1 s 2 . F s

Passo 3

Juntando tudo temos uma equação para a transformada de f t :

F s + 1 s 2 . F s = 1 s 2

Podemos achar o valor de F s e depois aplicar transformada inversa.

F s 1 + 1 s 2 = 1 s 2

F s s 2 + 1 s = 1 s

F s = 1 s 2 + 1

Passo 4

Lembrando que:

L sen a t = a s 2 + a 2

Comparando podemos ver que:

a = 1

Então, pimba!

f t = L - 1 1 s 2 + 1 = sen 1 t = sen t

Resposta

f t = sen t

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