Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

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Enunciado

Resolva a equação integro-diferencial para y t

y ' t + ∫ 0 t y t - v e - 2 v d v = 1 ,     y 0 = 1

Dicas: O que diz o Teorema da convolução? Para achar L - 1 , faça frações parciais e lembre o que é L e a t s , faça com cuidado!

Passo 1

Nosso primeiro problema é associarmos aquela integral da nossa equação integro-diferencial com o teorema de convolução. Sendo assim, o Teorema nos diz que:

∫ 0 t y t - v e - 2 v d v = ∫ 0 t f t - μ g μ d μ = f t * g t

Comparando as integrais, identificamos que f t = y t e g t = e - 2 t . Não se preocupem muito com o fato da e - 2 v estar escrita em função de v , pois após a integração ela estará escrita em função de t . O importante aqui é pegarmos a ideia de separar as funções!

E se nós aplicarmos a transformada de Laplace, temos:

L ∫ 0 t y t - v e - 2 v d v = L f t * g t = L f t ⋅ L g t

Portanto, podemos aplicar a transformada de Laplace a cada função separadamente! Legal né! Vamos agora aplicar a transformada de Laplace a toda função. Portanto,

L y ' t + ∫ 0 t y t - v e - 2 v d v = L 1

L y ' t + L ∫ 0 t y t - v e - 2 v d v = L 1

L y ' t + L y t ⋅ L e - 2 t = L 1

Passo 2

Pronto, agora que aplicamos a transformada de Laplace a toda nossa função, podemos aplicar as regras para cada uma das funções em t para escrevê-las em função de s . Vamos relembrar cada uma delas separadamente. Sendo assim, temos:

L y ' t = s L y - y 0 = s L y - 1

L y t = L y

L e - 2 t = 1 s - - 2 = 1 s + 2

L 1 = 1 s

Todas estas transformadas foram obtidas utilizando as regras de transformada de Laplace. Agora, só nos resta substituirmos estas transformadas na equação e isolarmos o termo L y para obtermos a transformada inversa. Portanto,

L y ' t + L y t ⋅ L e - 2 t = L 1

s L y - 1 + L y ⋅ 1 s + 2 = 1 s

s + 1 s + 2 L y = 1 s + 1

s s + 2 + 1 s + 2 L y = 1 + s s

s 2 + 2 s + 1 s + 2 L y = 1 + s s

s + 1 2 s + 2 L y = s + 1 s

L y = s + 1 s + 2 s s + 1 2

Todo este procedimento de reorganização da nossa L y foi para conseguir isolá-la. E não só isto, fatoramos todos os polinômios para conseguir obter a transformada inversa.

Lembram da dica de fazer frações parciais? Pronto! Sempre vamos fatorar para conseguir separar esta nossa função em uma soma de frações. Frações estas que conseguimos identificar facilmente qual é a sua transformada inversa!

Vamos simplificar agora a nossa L y . Portanto,

L y = s + 2 s s + 1

Passo 3

Após obtermos a função L y , vamos utilizar a técnica de frações parciais. Para isto, queremos descobrir os coeficientes A e B tais que:

s + 2 s s + 1 = A s + B s + 1

Percebam que separamos o denominador em duas partes. Agora, vamos tirar novamente o mínimo e desenvolver a expressão. Portanto,

s + 2 s s + 1 = A s + B s + 1 = A s + 1 + B s s s + 1 = A + B s + A s s + 1

Se nós compararmos a primeira fração com a última, conseguimos montar o seguinte sisteminha:

A + B = 1 A = 2

Resolvendo, obtemos A = 2 e B = - 1 . Portanto, podemos reescrever a nossa transformada L y da seguinte forma?

L y = s + 2 s s + 1 = 2 s - 1 s + 1

Agora, é só fazermos a transformada inversa. A nossa solução será dada por:

y t = L - 1 2 s - 1 s + 1

y t = L - 1 2 s - L - 1 1 s + 1 = 2 ⋅ L - 1 1 s - L - 1 1 s + 1

Lembrando, a transformada inversa L - 1 1 s é igual a constante 1. Agora, só nos resta identificar quem é L - 1 1 s + 1 .

E aí que entra a última dica da questão. Quem é L e a t s ? Vamos lembrar que:

L e a t s = 1 s - a

Que é bem semelhante a função que queremos calcular a inversa! A única diferença está no sinal negativo. Mas vejam só, vamos “mudar a forma que observamos”:

L - 1 1 s + 1 = L - 1 1 s - - 1

E agora? É exatamente a mesma relação que obtida pela transformada de e a t , quando a = - 1 ! E é exatamente esta a resposta! Portanto, se nos substituirmos na relação de y t , vamos obter a seguinte resposta para a nossa equação integro-diferencial:

y t = 2 ⋅ 1 - e - t

y t = 2 - e - t

Resposta

y t = 2 - e - t

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