Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

William E. Boyce e Richard C. DiPrima, Equações diferenciais elementares e problemas de contorno, 9ª ed., Rio de Janeiro: LTC, 2010, pp. 188, exemplo 2

Encontre a solução do problema de valor inicial

y ' ' + 4 y = g ( t )

y 0 = 3

y ' 0 = - 1

Passo 1

Vamos aplicar a transformada de Laplace á EDO:

L y ' ' + 4 y ( s ) = L [ g t ] ( s )

L y ' ' s + 4 L y ( s ) = L [ g t ] ( s )

Aplicando a propriedade da transformada da derivada:

L y ' ' s = s 2 L y s - s y 0 - y ´ ( 0 )

Temos

s 2 L y s - s y 0 - y ´ 0 + 4 L y ( s ) = L [ g t ] ( s )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos substituir as condições iniciais e isolar L y ( s ) . Temos y 0 = 3 , y ' 0 = - 1 .

s 2 L y s - 3 s + 1 + 4 L y ( s ) = L [ g t ] ( s )

( s 2 + 4 ) L y s = L g t s + 3 s - 1

L y s = L g t s s 2 + 4 + 3 s s 2 + 4 - 1 s 2 + 4

Passo 3

Agora precisamos reconhecer y pela sua transformada. Já vemos que a segunda fração é uma transformada de cosseno e a terceira de seno. Temos o seguinte:

s s 2 + 4 = L cos 2 t ( s )

1 s 2 + 4 = 1 2 L sen 2 t ( s )

Substituindo na expressão, temos:

L y s = L g t s s 2 + 4 L f ( s ) + 3 L cos 2 t ( s ) - 1 2 L sen 2 t ( s )

Faltou a primeira fração, não é? Como nem sabemos a expressão de g ( t ) , não tem jeito, temos que usar convolução aqui. Vamos chamar essa parte que sobrou de L [ f ] ( s ) , olha só:

L [ f ] ( s ) = L g t s 1 s 2 + 4

Assim, podemos dizer que

f = g ( t ) * 1 2 s e n 2 t

Para calcular esse produto, usamos sua definição:

f = 1 2 0 t g t - τ s e n ( 2 τ ) d τ

Portanto, temos o seguinte:

L y s = L 1 2 0 t g t - τ s e n 2 τ d τ ( s ) + 3 L cos 2 t ( s ) - 1 2 L sen 2 t ( s )

Podemos dizer então:

y = 1 2 0 t g t - τ s e n ( 2 τ ) d τ + 3 cos ( 2 t ) - 1 2 s e n ( 2 t )

Resposta

y = 1 2 0 t g t - τ s e n ( 2 τ ) d τ + 3 cos ( 2 t ) - 1 2 s e n ( 2 t )

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