Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

Ver Teoria

Enunciado

Use o teorema da convolução para achar L - 1 1 ( s - a ) ( s - a ) } t .

Passo 1

Primeiramente podemos identificar que temos:

1 s - a = L e a t

Portanto nossa equação fica:

L - 1 1 ( s - a ) ( s - a ) } t = L - 1 { L e a t L e a t } ( t )

Passo 2

A transformada da convolução é:

L f t * g t = L f t   .   L { g ( t ) } ( t )

Aplicando na equação que encontramos vamos ter:

L - 1 L e a t L e a t t = L - 1 L e a t * e a t

A transformada inversa da transformada de uma função é a própria função, portanto isso resultará:

e a t * e a t

Passo 3

Da definição de convolução, temos que:

e a t * e a t = ∫ 0 t e a t - v e a v d v = ∫ 0 t e a t d v = t e a t

Resposta

t e a t

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre a transformada de Laplace da função dada. f ( t ) = ∫ 0 t s e n ( t - τ ) c o s ( τ ) d τ
Mostre que f ∗ f não precisa ser não negativa usando o exemplo f ( t ) = s e n ( t ) .
Existem também equações, conhecidas como equações integrodiferenciais, em que aparecem tanto derivadas quanto integrais da função desconhecida.(a) Resolva a equação integrodiferencial dada usando a tr
Prove a comutatividade, a distributividade e a associatividade para a convolução. ( a )f * g = g * f ( b )f * ( g 1 + g 2 ) = f * g 1 + f * g 2 ( c )f * ( g * h ) = ( f * g ) * h
Encontre a transformada de Laplace inversa da função dada usando o teorema sobre a convolução: F s = 1 s + 1 2 s 2 + 4