Exercícios Resolvidos de EDO de Coeficientes Constantes - Convolução

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Enunciado

Seja a equação de 2 ª ordem com condições iniciais u n ' 0 = u n 0 = 0 .

u n ' ' t + n 2 u n t = h n t

Resolva esta equação, utilizando convolução para determinar a solução particular.

Passo 1

Bom, primeiramente, a gente precisar resolver o caso homogêneo.

u n ' ' t + n 2 u n t = 0

Obtemos o nosso polinômio característico:

r 2 + n 2 = 0

r = ± - n 2 = ± i n

Logo, a solução será:

u n h = a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t

Passo 2

Maneiro. Agora vamos aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados. Lembrando que:

L y ' s = s L y - y 0 = s L y

L y ' ' s = s 2 L y - s y 0 - y ' 0 = s 2 L [ y ]

Vou denotar L [ y ] por Y s , ok?! Então ficamos com:

s 2 U n ( s ) + n 2 U n s = H n s

Chamei L h n t s = H ( s ) . Isolando U n ( s ) :

U n s = H n s s 2 + n 2

E para encontrar a particular, vamos fazer a transformada inversa, ok?

u n p t = L - 1 H n s s 2 + n 2 = h n L - 1 1 n n s 2 + n 2

= h n 1 n L - 1 n s 2 + n 2 = h n 1 n sen ⁡ n t = ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

E finalmente a solução será:

u n t = a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t + ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

Resposta

u n t = a n cos ⁡ n t + b n sen ⁡ n t + ∫ 0 t h n s 1 n sen ⁡ t - s d s

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