Enunciado

Uma barra delgada de massa m = 2,0   k g e comprimento L = 0,30   m é mantida na vertical com uma das extremidades apoiada no solo e depois é liberada. A extremidade superior atinge o solo sem que a extremidade de apoio deslize. Utilize que g   =   10   m / s 2 .

A velocidade da extremidade superior da barra imediatamente antes de tocar o solo é:

(a) 1,5   m / s

(b) 3,0   m / s

(c) 4,5   m / s

(d) 6,0   m / s

(e) 7,5   m / s

(f) 9,0   m / s

(g) 10,5   m / s

(h) 12,0   m / s

(i) 13,5   m / s

Passo 1

Vamos olhar para as forças sobre a barra:

Repara que tanto a força normal N → quanto a força de atrito F → a t estão aplicadas sobre o ponto de apoio da barra com o chão.

Como esse ponto não desliza, ele não se move em todo o movimento de queda, a barra rotaciona sobre ele.

Então, essas forças não realizam trabalho:

W N = 0

W F a t = 0

Ahh belezaa... mas e daí?

Bom se as forças não conservativas N → e F → a t não realizam trabalho, elas não retiram energia do sistema.

Só resta a força peso P → , que é uma força conservativa.

Então, a energia mecânica do sistema se conserva e podemos usar isso para encontrar a velocidade angular ω da barra. A partir disso, podemos encontrar a velocidade v de qualquer ponto da barra.

E M 0 = E M

Passo 2

Inicalmente, a barra está parada, então ela não tem energia cinética, sobrando apenas a energia potencial gravitacional U g 0 .

E M 0 = U g 0

E M 0 = m g h

A altura h será a altura do centro de massa da barra:

Considerando a barra homogênea (não temos nenhuma info sobre uma distribuição diferente), achamos que o centro de massa está na metade da barra, logo:

h = L 2

Então:

E M = m g L 2

Passo 3

Enquanto no final, a barra terá apenas uma energia cinética associada à sua rotação:

E M = K R o t

E M = I ω 2 2

O momento de inércia de uma barra fina é dado por:

Porém, esse é o momento de inércia com relação a um eixo passando pelo centro da barra (centro de massa).

No nosso problema, o eixo está passando na extremidade (ponto de apoio), então devemos usar o teorema dos eixos paralelos para achar esse I :

I = I C M + M d 2

A distância d entre os eixos é metade do comprimento da barra:

I = 1 12 m L 2 + m L 2 2

I = m L 2 1 12 + 1 4

I = m L 2 4 12

I = m L 2 3

Substituindo isso, temos:

E M = m L 2 3 ω 2 2

E M = m L 2 ω 2 6

Passo 4

Voltando à equação das energias, temos:

E M 0 = E M

m g L 2 = m L 2 ω 2 6

Cortando m e L :

g 2 = L ω 2 6

ω 2 = 3 g L

ω = 3 g L

Passo 5

Achamos a velocidade angular ω , que é a mesma para todos os pontos da barra.

Portanto, podemos achar a velocidade linear v de qualquer ponto da barra com:

v = ω R

Para o ponto na extremidade da barra, sua distância ao eixo de rotação R é igual ao comprimento da barra, então:

v = ω L

v = 3 g L L

Substituindo os valores, temos:

v = 3 10 0,3 0,3

v = 100 0,3

v = 10 0,3

v = 3   m / s

Ficamos com a alternativa (b).

Resposta

Letra (b)

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