Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Enunciado

Em uma colisão a altas energias, dois píons π 1 + e π 2 + são produzidos no laboratório com velocidades 0,99 c e 0,90 c , respectivamente, na direção + z ^ , entrando então em um detector de comprimento de 20   m .

a) Visto do referencial do píon π 2 + , qual é o comprimento do detector?

b) Sabendo que píons têm tempo de vida próprio de 2,6 ⋅ 10 - 8   s , conseguirá o píon π 1 + cruzar todo o detector?

c) Qual é a velocidade do π 2 + vista do referencial do π 1 + ?

d) Suponha agora que as velocidades dos píons não são conhecidas e sim os seus momentos, em termos de suas massas de repouso ( m π ): p 1 = 8 m π c e p 2 = 4 m π c para π 1 + e π 2 + , respectivamente. Qual é a razão entre as duas energias cinéticas K 1 / K 2 ?

Passo 1

Eai galerinha, prontos para resolver uma questão de física 4?

Nesse problema vamos discutir algumas ideias centrais da relatividade restrita. Temos um detector com comprimento L 0 = 20   m . Note que esse é o comprimento no referencial em que o detector está em repouso. Vamos chamar esse referencial de S .

Com relação a esse referencial, as duas partículas se movem com velocidades v 1 = 0,99 c e v 2 = 0,90   c . No item (a) ele quer saber qual é o comprimento do detector no referencial da partícula 2.

Para resolver esse problema nós usamos a contração do espaço:

L 2 = L 0 γ 2

No referencial que se move com relação ao detector, o comprimento será o comprimento próprio ( L 0 ) dividido pelo fator γ 2 :

γ 2 = 1 1 - v 2 c 2 = 1 1 - 0,9 2 = 1 1 - 0,81 = 1 0,19 = 10 19

Assim,

L 2 = L 0 10 / 19 = L 0 19 10

Usando L 0 = 20   m , temos que

L 2 = 20 19 10 → L 2 = 2 19   m ≈ 8,7   m

Para o corpo em movimento as distâncias parecem menores!

Passo 2

No item (b) vamos usar a ideia de dilatação temporal!

No referencial da partícula 1 o tempo de vida próprio da partícula é Δ t 1 = 2,6 ⋅ 10 - 8   s . Para converter isso para o referencial S (do detector), usamos a dilatação temporal:

Δ t = γ 1 Δ t 1

Como v 1 = 0,99 c , temos que

γ 1 = 1 1 - 0,99 2 = 1 1 - 0,9801 = 1 0,0199 = 100 199

Daí,

Δ t = 100 199 ⋅ 2,6 ⋅ 10 - 8 → Δ t = 1,84 ⋅ 10 - 7   s

Esse é o tempo de vida da partícula 1 medida no referencial S . Vamos calcular agora o tempo necessário para essa partícula percorrer os 20   m do detector também no referencial S :

v 1 = L 0 t → t = L 0 v 1 = L 0 0,99   c

Logo,

t = 20 0,99 ⋅ 3 ⋅ 10 8 = 6,7 ⋅ 10 - 8   s = 0,67 ⋅ 10 - 7   s

Como o tempo de vida Δ t é maior que o tempo necessário para a partícula percorrer todo o detector t , o píon π 1 + consegue atravessar todo o detector!

Importante: para a gente fazer essa comparação temos que calcular os dois tempos num mesmo referencial, não adianta comparar o tempo de vida no referencial de repouso da partícula Δ t 1 com o tempo de percurso no referencial S dado por t .

Passo 3

Agora vamos para o item (c)!

Queremos achar a velocidade da partícula 2 com relação a partícula 1. Vamos considerar o referencial do detector como sendo S e o referencial da partícula 1 como sendo S ' . A velocidade do referencial S ' com relação a S é

v = 0,99   c             e           γ = 100 199

No referencial S , a velocidade da partícula 2 é u = 0,90   c , queremos saber qual a velocidade no referencial S ' . Para achar isso, usamos a lei de composição de velocidades:

u ' = u - v 1 - v c 2 u

Vamos substituir os valores:

u ' = 0,90 c - 0,99 c 1 - 0,99 ⋅ 0,90   c 2 c 2 = - 0,09 1 - 0,99 ⋅ 0,90   c

Portanto,

u ' = - 0,82   c

Vemos que no referencial da partícula 1 (referencial S ' ), a partícula 1 se move na direção - z ^ . Em S essa partícula se move na direção + z ^ . Note que isso faz sentido: como a partícula 1 se move mais rapidamente que a 2, é natural que ela esteja se afastando, de modo que na visão dela a partícula 1 está “andando para trás”.

Passo 4

Bora para último item! O exercício forneceu para gente o momento de cada partícula:

p 1 = 8 m c               e             p 2 = 4 m c

Queremos a razão das energias cinéticas K 1 / K 2 . Para isso, usamos a relação energia-momento:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Para a partícula 1:

E 1 2 = m c 2 2 + 8 m c 2 2 = 65 m c 2 2 → E 1 = m c 2 65

Já para a partícula 2:

E 2 2 = m c 2 2 + 4 m c 2 2 = 17 m c 2 2 → E 2 = m c 2 17

Já temos a energia total de cada partícula. Para achar a energia cinética, basta subtrair a energia de repouso:

K 1 = E 1 - m c 2 = m c 2 65 - 1

K 2 = E 2 - m c 2 = m c 2 17 - 1

Portanto, a razão delas será

K 1 K 2 = m c 2 65 - 1 m c 2 17 - 1

Portanto,

K 1 K 2 = 65 - 1 17 - 1 ≈ 2,26

Foi tranquilo né? 😉.

Resposta

L 2 = 2 19   m ≈ 8,7   m

A partícula 1 consegue atravessar o detector inteiro.

u ' = - 0,82   c

K 1 K 2 = 65 - 1 17 - 1 ≈ 2,26

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