Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Enunciado

Uma partícula com energia cinética de 200   M e V e massa de repouso m 0 = 300   M e V / c 2 colide inelásticamente com outra partícula de mesma massa em repouso, resultando em uma única partícula após a colisão.

a) Encontre a razão entre a velocidade inicial da partícula incidente e a velocidade da luz.

b) Encontre a razão entre a velocidade da partícula resultante e a velocidade da luz.

c) Encontre a razão entre a massa de repouso da partícula resultante M 0 e m 0 .

Passo 1

Fala galera, vamos resolver mais uma questão de prova da POLI? Bora!

Essa é uma questão sobre colisões relativísticas, então você vai precisar lembrar um pouquinho sobre energia de repouso, energia cinética relativística e outras coisinhas. Mas relaxa que eu ajudo vocês!

No item (a), temos que olhar apenas para a partícula incidente, pois a colisão ainda não aconteceu, de modo que apenas a energia da partícula nos imposta, considerando isso podemos esquecer a colisão por um momento. Sabemos que a expressão para a energia relativística total de um corpo é

E = γ m 0 c 2

Já sua energia de repouso é

E 0 = m 0 c 2

Como a energia cinética é um dado do enunciado, vamos escrever sua expressão:

K = E - E 0 = γ m 0 c 2 - m 0 c 2 = γ - 1 m 0 c 2

Lembre-se: a energia cinética é sempre a energia relativística total menos a de repouso! Lembre-se também que o parâmetro γ (gamma) é dado por:

γ = 1 1 - β 2 ,

onde β (beta) é a razão da velocidade da partícula pela velocidade da luz:

β = v c

Passo 2

Como

K = γ - 1 m 0 c 2

vamos isolar γ :

γ - 1 = K m 0 c 2 ⇒ γ = 1 + K m 0 c 2

Show de bola, estamos quase lá!

A massa de repouso da partícula incidente é

m 0 = 300   M e V / c 2

Assim,

m 0 c 2 = 300   M e V

Portanto, como K = 200   M e V

γ = 1 + K m 0 c 2 = 1 + 200   M e V 300   M e V = 1 + 2 3 = 5 3

Passo 3

Sabemos que

γ = 1 1 - β 2

Como γ = 5 / 3 :

5 3 = 1 1 - β 2

1 1 - β 2 = 5 3 2 = 25 9

Assim,

25 1 - β 2 = 9

25 - 25 β 2 = 9

25 β 2 = 16 ⇒ β 2 = 16 25

Portanto,

β = 4 5

Mas como β = v / c , temos que

v i c = 4 5

Era isso que o item (a) pedia! A primeira parte já foi!

Passo 4

No item (b), ele pede a velocidade da partícula resultante após a colisão. Além disso, foi dito que a colisão é inelástica. Isso significa que as partículas “seguem” grudadas após a colisão. Para isso, temos que estudar a colisão aplicando tanto a conservação da energia como a conservação do momento linear!

Antes da colisão, a partícula incidente com massa m 0 tem energia E i n c i = γ m 0 c 2 enquanto a partícula alvo está em repouso, de modo que sua energia é apenas a energia de repouso: E a l v o = m 0 c 2 . Note que a partícula alvo tem a mesma massa de repouso m 0 que a partícula incidente! Assim, a energia do sistema antes da colisão é

E a n t e s = E i n c i + E a l v o = γ m 0 c 2 + m 0 c 2

Depois da colisão, a partícula resultante com massa M 0 terá uma energia E r e s u l = γ ' M 0 c 2 . Note que temos que usar um outro fator γ pois a velocidade dela será diferente! Assim, após a colisão, a energia do sistema será

E d e p o i s = E r e s u l = γ ' M 0 c 2

Pelo princípio da conservação da energia, podemos igualar as expressões:

E a n t e s = E d e p o i s

γ m 0 c 2 + m 0 c 2 = γ ' M 0 c 2

Passo 5

Agora vamos olhar para o momento linear. Lembre-se que para uma partícula com massa m e velocidade v , o momento linear é

p = γ m v

Antes da colisão, a partícula incidente tem momento linear

p i n c i = γ m 0 v i

Já a partícula alvo, como está em repouso, tem

p a l v o = 0

Olhando para o sistema após a colisão, temos

p r e s u l = γ ' M 0 v f

Aplicando a conservação do momento linear:

p i n c i + p a l v o = p r e s u l ⇒ γ m 0 v i = γ ' M 0 v f

Passo 6

Com a conservação da energia e do momento linear, obtivemos duas equações:

γ m 0 c 2 + m 0 c 2 = γ ' M 0 c 2 γ m 0 v i = γ ' M 0 v f

Já conhecemos γ , m 0 e v i . Nossas incógnitas são M 0 e v f . Lembre-se que γ ' depende de v f !

Aqui existem muitas formas de resolver: você pode, por exemplo, substituir os números que você conhece e tentar achar o resto. Vou tentar fazer de um jeito mais elegante. Simplificando os fatores c 2 na primeira equação e fatorando m 0 :

γ + 1 m 0 = γ ' M 0

Dividindo ela pela segunda:

γ + 1 m 0 γ m 0 v i = γ ' M 0 γ ' M 0 v f ⇒ γ + 1 γ v i = 1 v f

Assim,

v f = γ γ + 1   v i

Bingo, resolvemos o problema! Viu que truque maneiro? Já sabemos do item (a) que γ = 5 / 3 e que v i = 4 c / 5 . Assim,

v f = 5 3 5 3 + 1 ⋅ 4 c 5 = 5 8 ⋅ 4 5 c = c 2

Portanto,

v f c = 1 2

Passo 7

Agora vamos terminar o problema com item (c): devemos achar a razão M 0 / m 0 !

Como já temos v f , podemos achar γ ' :

γ ' = 1 1 - v f c 2 = 1 1 - 1 2 2 = 1 1 - 1 4 = 2 3

Voltando para a equação

γ m 0 v i = γ ' M 0 v f

Temos que γ = 5 / 3 , v i = 4 c / 5 e v f = c / 2 . Assim,

5 3 ⋅ m 0 ⋅ 4 c 5 = 2 3 ⋅ M 0 ⋅ c 2

Portanto,

M 0 m 0 = 4 3 3 = 4 3

E assim terminamos o problema!

Resposta

a) v i c = 4 5

b) v f c = 1 2

c) M 0 m 0 = 4 3

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