Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Enunciado

Um veículo possui massa de 1 tonelada e quatro rodas de liga leve de massa 20   K g cada e diâmetro de 17 ' ' ( 43,18   c m ) . Outro veículo idêntico possui rodas de aço de 13 ' ' ( 33,02   c m ) de diâmetro, e mesma massa das de liga leve. Compare a velocidade dos veículos ao final de uma descida de 100 m de comprimento e inclinação de 30 ° . Suponha que ambos veículos tenham velocidade inicial nula.

Passo 1

Fala aí pessoal, tudo bem?

Essa questão nos traz uma situação bem interessante. Basicamente, dois carros idênticos descem uma mesma rampa, de inclinação de 30 ° e 100 m de comprimento. A diferença é que o primeiro carro possui rodas de diâmetro de 43,18   c m e o segundo carro possui rodas de 33,02   c m .

O objetivo do exercício é que comparemos a velocidade desses veículos ao final da descida da rampa. Beleza?

Se a gente pensar nesses carros como sendo pontuais, essa pergunta vai soar bem estranha. Pois sabemos que para partículas, a velocidade final em uma descida independe da massa, dependendo apenas da altura inicial do corpo. O grande ponto aqui é que não estamos tratando de partículas, mas de corpos extensos. Por isso, existe uma outra parcela de energia relacionada: a energia cinética de rotação.

Assim, imaginando que não há perda de energia por atrito (ou ainda que essas perdas são iguais para os dois carros), podemos montar a seguinte equa��ão de energia:

E p o t g = E c t r a n s + E c r o t

Onde a energia cinética de rotação é dada por:

E c r o t = 4 ⋅ I ω 2 2

Onde I é o momento de inércia da roda (e multiplicamos por 4 pois são 4   rodas), dado por:

I = m r 2

Massa! Então, como a única coisa diferente entre os dois carros é o raio das suas rodas, vamos encontrar uma expressão para a velocidade em função dos outros parâmetros que temos.

A partir dessa expressão, analisamos como o raio da roda irá influenciar na velocidade final dos carros.

Passo 2

Bom, precisamos manipular a nossa equação de energia abaixo:

E p o t g = E c t r a n s + E c r o t

A energia potencial gravitacional é dada por M g h , onde M é a massa completa do carro e h é a altura inicial do mesmo.

Como cada veículo pesa 1 tonelada, e cada uma das rodas pesam 20   k g , temos:

M = 1000 + 4 ⋅ 20

= 1080   k g

Levando em conta também que a rampa tem inclinação de 30 ° e comprimento de 100   m , usando o seno da inclinação temos:

s e n   30 = h 100

∴ h = 100 ⋅ s e n   30

= 50   m

Logo:

E p o t g = 1080 ⋅ 10 ⋅ 50

Tudo bem, vamos guardar esse resultado!

Vamos analisar agora o lado direito da nossa equação de energia. Temos para a energia cinética de translação:

E c t r a n s = M v 2 2

= 1080 2 ⋅ v 2

⇒ E c t r a n s = 540 v 2

Beleza!

E, por fim, a parcela da energia cinética de rotação. Considerando a roda com um cilindro maciço:

I = m r 2 2

E c r o t = 4 ⋅ m r 2 2 ⋅ ω 2 2

Como a velocidade angular é dada por:

ω = v r

Substituindo na nossa expressão, temos:

E c r o t = m r 2 ⋅ v r 2

= m v 2

Como a massa de cada roda é de 20   k g , vamos ter:

E c r o t = 2 0 v 2

Muito bom!

Passo 3

Agora que já destrinchamos cada uma das parcelas de energia, vamos juntar tudo novamente na nossa equação:

E p o t g = 1080 ⋅ 10 ⋅ 50 E c t r a n s = 540 v 2 E c r o t = 2 0 v 2

Como:

E p o t g = E c t r a n s + E c r o t

Vamos ter:

1080 ⋅ 10 ⋅ 50 = 540 v 2 + 2 0 v 2

= 5 6 0 v 2

Logo:

v = 1080 ⋅ 10 ⋅ 50 5 6 0

= 3 1 , 05   m / s

Olha que interessante, no final das contas vimos que a velocidade não dependia do raio das rodas do veículo. Na verdade, a dependência do raio sumiu no produto:

I ω 2 2

Pois o momento de inércia é proporcional ao quadrado do raio, e a velocidade angular é inversamente proporcional ao quadrado do raio.

Sendo assim, levando em conta as suposições de que a perda por atrito de ambos os carros é igual, podemos afirmar que ao final da descida as velocidades finais de ambos os veículos devem ser a mesma.

Resposta

Devem possuir a mesma velocidade.

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