Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Enunciado

Uma partícula 1 com massa de repouso m 0 e energia total igual duas vezes sua energia de repouso colide com uma partícula 2 , idêntica, em repouso. Após a colisão forma-se uma única partícula com massa de repouso M 0 . Nos itens abaixo, expresse suas respostas em termos da velocidade da luz c e de m 0 .

(a) Calcule a velocidade v da partícula antes da colisão.

(b) Calcule a velocidade V e a massa M 0 da partícula resultante

(c) Calcule a energia cinética da partícula resultante.

Passo 1

Como a energia de repouso é m 0 c 2 a energia total da partícula 1 será 2 m 0 c 2 . Assim, sabendo que a energia total relativística é γ m 0 c 2 , temos

γ m 0 c 2 = 2 m 0 c 2 →   γ = 2

Como γ = 1 / 1 - v 2 / c 2

1 1 - v 2 c 2 = 2 → 1 - v 2 c 2 = 1 4 → v = 3 2 c

Passo 2

Primeiro vamos olhar para a conservação de energia. Pelo enunciado a energia total da partícula 1 é 2 m 0 c 2 enquanto que a energia total da partícula 2 (que está em repouso) é m 0 c 2 . Assim a energia total antes da colisão será

E a n t e s = E 1 + E 2 = 2 m 0 c 2 + m 0 c 2 = 3 m 0 c 2

A partícula resultante terá massa de repouso M 0 e velocidade V (que ainda temos que encontrar). Logo a energia total dessa partícula resultante será a energia total depois da colisão

E d e p o i s = γ ' M 0 c 2

onde

γ ' = 1 1 - V 2 c 2

Dessa forma pela conservação de energia temos

E a n t e s = E d e p o i s

3 m 0 c 2 = γ ' M 0 c 2

3 m 0 = γ ' M 0

Repare que esta última equação relaciona a massa de repouso M 0 com a velocidade V da partícula resultante. Até agora temos uma equação e duas incógnitas. Precisamos de mais uma equação! Para isso vamos para o próximo passo

Passo 3

Agora vamos olhar a conservação de momento linear! O momento de uma partícula relativística é γ m 0 v . Já sabemos que antes da colisão, a velocidade da partícula 1 é v = 3 c / 2 (e assim γ = 2 ) e que a partícula 2 está em repouso, ou seja, tem momento 0 . Assim

P a n t e s = P 1 + P 2 = γ m 0 v + 0 = 2 m 0 3 c 2 = 3 m 0 c

Já o momento depois da colisão será somente o momento da partícula resultante

P d e p o i s = γ ' M 0 V

Assim pela conservação de momento

P a n t e s = P d e p o i s

3 m 0 c =   γ ' M 0 V

Passo 4

Pronto! Agora temos duas equações e duas incógnitas! Só precisa agora resolver um sisteminha. Você pode resolver usando o seu método favorito.

Eu aqui vou fazer do jeito estiloso vendo pela equação da conservação de energia que   γ ' M 0 = 3 m 0 . E esse termo também aparece na equação da conservação de momento! Assim a conservação de momento fica

3 m 0 c = γ ' M 0 V = 3 m 0 V

3 m 0 c = 3 m 0 V

V = 3 3 c

Passo 5

Agora só falta achar a massa de repouso M 0 . Para isso basta substituir o V que acabamos de achar em qualquer uma das equações. Aqui eu vou usar a equação da conservação de energia mas fica à vontade pra usar a que você quiser ;)

Parece que tem esse γ ' para atrapalhar a nossa vida mas ele é moleza de calcular

γ ' = 1 1 - V 2 c 2 = 1 1 - ( 3 c / 3 ) 2 c 2 = 1 1 - 1 3 = 6 2

Agora finalmente pela conservação de energia

3 m 0 = γ ' M 0 →   M 0 = 3 m 0 γ ' = 3 m 0 6 2

M 0 = 6 m 0

Passo 6

Temos que a energia cinética relativística da partícula resultante é dada por

K = M 0 c 2 γ ' - 1

Como já sabemos que M 0 = 6 m 0 e que γ ' = 6 / 2 , basta só substituir e calcular

K = M 0 c 2 γ ' - 1 = 6 m 0 c 2 6 2 - 1

K = ( 3 - 6 ) m 0 c 2

Resposta

  1. v = 3 2 c
  2. V = 3 3 c   ;   M 0 = 6 m 0
  3. K = ( 3 - 6 ) m 0 c 2

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