Exercícios Resolvidos de Energia Cinética Relativística

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Enunciado

Uma partícula com massa de repouso m 0 , viajando com velocidade v = 0,6 c ( c é a velocidade da luz), colide com uma partícula idêntica inicialmente em repouso.

Após a colisão as duas partículas formam uma única partícula de massa de repouso M 0 com velocidade V . As respostas devem ser dadas em termos de c e de m 0 .

  1. Calcule a velocidade V da partícula resultante.
  2. Calcule a massa de repouso M 0 dessa nova partícula.
  3. Calcule a energia cinética da nova partícula.

Passo 1

Letra a)

Podemos usar a lei da conservação do momento:

p i n i c i a l = p f i n a l

No início, uma partícula viaja com velocidade v = 0,6 c e a outra está em repouso.

p i = γ 1 m 0 v

Onde

γ 1 = 1 1 - v 2 c 2 = 1 1 - 0,6 c c 2 = 1 1 - 0,36 = 1 0,64 = 1 0,8 = 10 8 = 5 4

Depois, temos uma única partícula, de massa de repouso M 0 , formado por duas partículas de massa de repouso m 0 .

p f = γ ∙ M 0 ∙ V

Onde

γ = 1 1 - V 2 c 2

Igualando as duas equações:

γ 1 ∙ m 0 ∙ 0,6 c = γ ∙ M 0 ∙ V

V = γ 1 m 0 ∙ 0,6 c γ ∙ M 0

Passo 2

Agora vamos usar a lei da conservação da energia para achar M 0 em função de m 0 .

E i n i c i a l = E f i n a l

No início, temos uma partícula em movimento e outra em repouso. Logo, a primeira vai ter energia de repouso e energia cinética, enquanto a segunda apenas a energia de repouso.

E i n i c i a l = E 1 + E 2 = γ 1 m 0 c 2 + m 0 c 2 = m 0 c 2 ∙ γ 1 + 1

No fim, temos uma única partícula com massa de repouso M 0 em movimento.

E f i n a l = γ M 0 c 2

Igualando:

γ M 0 c 2 = γ 1 + 1 m 0 c 2

M 0 = γ 1 + 1 m 0 γ

O que podemos substituir na equação anterior para a velocidade

V = γ 1 m 0 ∙ 0,6 c γ ∙ M 0 = γ 1 m 0 ∙ 0,6 c γ ∙ γ 1 + 1 m 0 γ = γ 1 ∙ 0,6 γ 1 + 1 c = 5 4 ∙ 0,6 9 4 c = 5 ∙ 0,6 9 c

V = c 3

Passo 3

Letra b)

Como vimos antes, a massa de repouso M 0 é

M 0 = γ 1 + 1 m 0 γ

E calculamos γ 1 = 5 4 .

Agora, vamos calcular γ usando a velocidade V .

γ = 1 1 - V 2 c 2 = 1 1 - c 2 / 9 c 2 = 1 1 - 1 9 = 1 8 / 9 = 3 2 2

E colocando tudo junto:

M 0 = 9 4 m 0 3 / 2 2 = 2 2 ∙ 9 3 ∙ 4 m 0 = 3 2 2 m 0

Passo 4

Letra c)

A energia cinética da nova partícula vai ser

K = M 0 c 2 γ - 1 = M 0 c 2 ∙ 3 - 2 2 2 2

A massa de repouso nós temos do item anterior:

K = m 0 c 2 ∙ 3 2 2 ∙ 3 - 2 2 2 2 = m 0 c 2 ∙ 3 4 ∙ 3 - 2 2 = m 0 c 2 ∙ 9 4 - 3 2 2

K = 9 4 - 3 2 2 ∙ m 0 c 2

Resposta

Letra a)

V = c 3

Letra b)

M 0 = 3 2 2 m 0

Letra c)

K = 9 4 - 3 2 2 ∙ m 0 c 2

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