Exercícios Resolvidos de Energia da Onda Eletromagnética

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Enunciado

Prove as fórmulas das densidades de energia elétrica e magnética partindo da ideia mostrada na figura abaixo. A onda desloca o cilindro uma distância ∆ x no sentido de propagação da mesma.

Passo 1

As densidades de energia são nada mais que energia por quantidade de volume. Observe que na figura, a onda desloca a distância ∆ x a partir da face do cilindro. Assim, o volume que a energia preenche será:

V = A × ∆ x

Onde A é a área da seção transversal do cilindro.

A densidade de energia é dada inicialmente por:

μ = E n e r g i a V

E a energia é:

P o t ê n c i a   ×   ∆ t

Se a gente olhar a fórmula da intensidade, podemos relaciona-lá com a potência dessa forma:

I = P o t A

I × A = P o t

A energia será então:

E = I × A × ∆ t

Passo 2

Vamos substituir o que encontramos na equação da densidade e ela vai ficar mais ou menos assim:

μ = I × A × ∆ t A × ∆ x

μ = I × ∆ t ∆ x

Como estamos trabalhando com uma onda eletromagnética, a velocidade é c , então podemos dizer que:

c = ∆ x ∆ t

Na equação temos o inverso disso, então o c aparece embaixo e vai ficar assim:

μ = I c    

Passo 3

Bom, a gente tem que chegar na densidade de energia magnética e agora só nos restou a intensidade pra mexer. Bora ver no que dá.

A fórmula da intensidade média diz que:

I - = E m B m 2 μ 0

E se substituirmos na equação:

μ = I c

Vamos chegar nisso aqui:

μ = E m B m 2 μ 0 c

Agora só precisamos usar a relação:

E = c B

E a nossa equação vai ficar assim:

μ = c B m 2 2 μ 0 c = B m 2 2 μ 0  

μ =   B m 2 2 μ 0 = μ B

Passo 4

Para a densidade de energia elétrica, basta usarmos a relação:

E = c B

E a densidade de energia magnética vai ficar:

μ B = E 2 2 μ 0 c 2

Como:

1 c 2 = μ 0 ε 0

Temos na equação:

μ B = E 2 2 μ 0 × μ 0 ε 0 = 1 2 E 2 ε 0 = μ E

μ E = 1 2 E 2 ε 0

Resposta

μ B = B m 2 2 μ 0

μ E = 1 2 E 2 ε 0

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