Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/36

A barra uniforme de massa m e comprimento L é sustentada no plano vertical por duas molas idênticas com rigidez k e comprimidas de um comprimento δ na posição vertical, θ = 0 . Determine a rigidez mínima k que garantirá uma posição de equilíbrio estável com θ = 0 . Pode-se considerar que as molas atuam na direção horizontal durante um pequeno movimento angular da barra.

Passo 1

Podemos desenhar melhor esse problema assim:

Onde G é o centro de gravidade da nossa barra!

Nós temos duas molas, não é mesmo? Quando a barra se deslocar em θ radianos, uma mola será comprimida e a outra será distendida. Assim, podemos dizer que existem duas energias potenciais elásticas uma para cada mola.

Para a mola que será esticada, vamos ter que:

V e l 1 = k x 2 2

Mas quanto vale x ? Repare que é o comprimento inicial da mola que foi dito no enunciado que é δ mais o quanto a mola esticou que pelo nosso desenho vale L s e n θ , então:

V e l 1 = k L s e n θ + δ 2 2

E para a mola que será comprimida teremos que o x é o comprimento inicial da mola que também é δ menos o quanto a mola comprimiu que é o mesmo L s e n θ , então:

V e l 2 = k x 2 2       →       V e l 2 = k δ - L s e n θ 2 2

Não podemos esquecer da energia potencial gravitacional:

V g = m g h     →     V g = m g L 2 c o s θ

Lembrando que h é a altura do centro de gravidade da barra!!!

Então, a nossa energia potencial total será a soma destas três formas de energias que achamos:

V = V e l 1 + V e l 2 + V g

V = m g L 2 c o s θ + k δ - L s e n θ 2 2 + k δ + L s e n θ 2 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos derivar a nossa equação da energia total:

d V d θ = - m g L 2 s e n θ + 2 k L 2 s e n θ c o s θ

Repare que precisamos usar a regra da cadeia!

Será que a posição θ = 0 é uma posição de equilíbrio, como diz o enunciado? Para verificar isso temos que substituir θ = 0 na equação que acabamos de achar:

d V 0 d θ     →         - m g L 2 s e n 0 + 2 k L 2 s e n 0 cos ⁡ 0 = 0

Então, θ = 0 é uma posição de equilíbrio!!!

Passo 3

Agora vamos verificar a estabilidade e para isso precisamos derivar duas vezes a nossa equação da energia total:

d 2 V d θ 2 = - m g L 2 c o s θ + 2 k L 2 c o s θ c o s θ - 2 k L 2 s e n θ s e n θ

d 2 V d θ 2 = - m g L 2 c o s θ + 2 k L 2 c o s ⁡ ( 2 θ )

Passo 4

Para que o equilíbrio seja estável, devemos ter:

d 2 V 0 d θ 2 > 0

Então, vamos achar o valor de k mínimo para que isto aconteça quando θ = 0 :

- m g L 2 c o s ⁡ ( 0 ) + 2 k L 2 cos ⁡ 2 ⋅ 0 > 0

- m g L 2 + 2 k L 2 > 0       →       2 k L 2 > m g L 2

k > m g 4 L

Então, o menor valor possível para a rigidez da mola deve ser igual a:

k m í n = m g 4 L

Resposta

k m í n = m g 4 L

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