Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 319, 7/45

Um dos requisitos críticos no projeto de uma perna artificial é prevenir que a junta do joelho flambe sob carga quando a perna está esticada. Como uma primeira aproximação, simule a perna artificial como duas barras leves com uma mola de torção em seu ponto de união. A mola realiza um torque M = K β , que é proporcional ao ângulo de inclinação β na junta. Determine o valor mínimo de K que garantirá estabilidade da junta do joelho para β = 0 .

Passo 1

O sistema pode ser representado assim:

Mas repare que temos um triângulo com dois lados iguais a l , então o triângulo é isósceles e tem dois ângulos iguais:

Repare que o maior ângulo do nosso triângulo isósceles é igual a:

180 ° - β

E sabendo que a soma de todos os ângulos internos de um triângulo deve ser igual a 180 ° , vamos ter que:

α + α + 180 ° - β = 180 °

2 α + 180 ° - β = 180 °

2 α - β = 0

α = β 2

Beleza?

Então, teremos o seguinte sistema:

Vamos considerar o nosso referencial de energia potencial gravitacional nula como indicado na figura!!!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos duas energias potenciais...

A primeira é a energia potencial gravitacional:

V e 1 = m g h

O h é a distância da massa m até o nosso referencial, no nosso caso vamos ter que:

h = 2 l c o s β 2

Então:

V e 1 = m g h     →       V e 1 = 2 m g l c o s β 2

E a segunda é a energia potencial elástica:

V e 2 = K β 2 2

Então, para acharmos a expressão da energia total é só somarmos cada uma das energias:

V = V e 1 + V e 2

V = 2 m g l c o s β 2 + K β 2 2

Passo 3

Agora precisamos derivar esta equação com relação ao ângulo β :

d V d β = - m g l s e n β 2 + K β

Repare que tivemos que aplicar a regra da cadeia nesta derivada!

Para achar a posição de equilíbrio, temos que igualar a equação que achamos a zero:

- m g l s e n β 2 + K θ = 0

Para obtermos zero como resultado, o valor de β deve ser zero. Então, a nossa posição de equilíbrio é:

β = 0

Passo 4

Agora queremos saber o valor mínimo de K para que o equilíbrio seja estável. Então, vamos ter que derivar duas vezes a nossa equação da energia potencial total:

d 2 V d β 2 = - m g l c o s β 2 2 + K

Repare que tivemos que aplicar a regra da cadeia nesta derivada!

Sabemos que nossa posição de equilíbrio é β = 0 , então vamos substituir isso na equação que acabamos de achar:

- m g l c o s β 2 2 + K         →           - m g l c o s 0 2 2 + K

- m g l 2 + K

Para que o equilíbrio seja estável vamos ter que:

d 2 V ( β = 0 ) d x 2 > 0

- m g l 2 + K > 0

K > m g l 2

Então, o valor mínimo de K será:

K m í n = m g l 2

Resposta

K m í n = m g l 2

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