Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 310, 7/50

O sistema formado por uma barra leve articulada, a massa m da extremidade e a mola, de rigidez k são mostradas em sua posição de equilíbrio. O parâmetro n é uma fração situada na faixa 0 < n < 1 . Mostre que o sistema é estável para todos os valores de n na faixa permissível.

Passo 1

Vamos primeiro usar o equilíbrio de momentos para descobrir o deslocamento da mola, δ K , para a situação em que o ângulo vale θ = 0 .

Temos:

∑ M O = 0

m g 1 - n L - F e l á s t i c a n L = 0     →     F e l á s t i c a = m g 1 - n n

Mas sabemos que a força elástica é calculada pela seguinte equação:

F e l á s t i c a = k δ K

Assim:

k δ K = m g 1 - n n               →             δ K =   m g 1 - n n k

Onde δ K é a distensão da mola quando a barra está na horizontal θ = 0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos analisar o problema para um caso em que θ ≠ 0 :

Veja que o nível zero da energia potencial está no centro de giro da barra, ou seja, no ponto O . Assim, a energia potencial da massa m será:

V g = m g h

Onde h é a distância do centro de gravidade da massa m até o nosso ponto de referência que é onde V g = 0 , então:

h = - 1 - n L s e n θ

Repare que o sinal é negativo, pois o centro de gravidade está abaixo do nosso referencial!

Então, a energia potencial gravitacional será:

V g = m g h         →         V g = - m g 1 - n L s e n θ

Já a energia potencial da mola, será:

V e l = k d 2 2

Onde d é o comprimento da mola quando a barra está na horizontal mais o quanto ela esticou que é n L s e n θ :

d = n L s e n θ + δ K

d = n L s e n θ + m g 1 - n n k

Então, a energia potencial elástica é:

V e l = k d 2 2       →         V e l = k 2 n L s e n θ + m g 1 - n n k 2

Agora somamos a energia potencial gravitacional e a elástica para acharmos a energia potencial total ( V ):

V = V g + V e l

V = - m g 1 - n L s e n θ + k 2 n L s e n θ + m g 1 - n n k 2

Arrumando isso melhor, vamos ter que:

V = m 2 g 2 2 k n 2 1 - n 2 + n 2 L 2 k s e n 2 θ 2

Passo 3

Agora temos que derivar esta equação que achamos:

d V d θ = n 2 L 2 k s e n θ c o s θ

Para que haja equilíbrio, devemos igualar o que achamos a zero:

n 2 L 2 k s e n θ cos ⁡ θ = 0       →       s e n θ cos ⁡ θ = 0

Para que nossa expressão seja zero, devemos ter que:

θ = 0

Ou seja, em θ = 0 há equilíbrio. Partimos do caso geral e descobrimos que θ = 0 é a posição de equilíbrio.

Passo 4

Vamos derivar duas vezes a expressão da energia total:

d 2 V d θ 2 = n 2 L 2 k ( cos 2 ⁡ θ - s e n 2 θ )

E precisamos substituir θ = 0 para vermos o que acontece:

d 2 V ( 0 ) d θ 2 = n 2 L 2 k cos 2 ⁡ ( 0 ) - s e n 2 ( 0 )

d 2 V ( 0 ) d θ 2 = n 2 L 2 k

Como n 2 é sempre maior que zero da mesma forma que L 2 e k também serão, então podemos dizer que:

n 2 L 2 k > 0       para 0 < n < 1

Resposta

D e m o n s t r a ç ã o   a c i m a

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