Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 308, 7/38

O pequeno cilindro de massa m e raio r está confinado a rolar sobre a superfície circular de raio R . Usando os métodos desta seção, prove que o cilindro é instável no caso ( a ) e estável no caso b .

Passo 1

Vamos considerar que V g = 0 é o nível de energia potencial nula no nosso sistema. Então, podemos desenhar o caso ( a ) assim:

A energia potencial gravitacional do cilindro é calculada pela seguinte fórmula:

V g 1 = m g h

Onde h é a distância vertical do centro de massa do cilindro até o nosso ponto onde a energia potencial é nula:

Então:

h = R + r c o s θ

Com isso conseguimos calcular a energia potencial gravitacional do cilindro:

V g 1 = m g h     →       V g 1 = m g R + r c o s θ

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

No outro caso temos o seguinte:

E a altura do centro de gravidade do cilindro?

h = - R - r c o s θ

Por que está negativo? Porque a altura está abaixo da nossa referência que é quando V g = 0 .

Dessa forma, a energia potencial gravitacional será:

V g 2 = m g h     →       V g 2 = - m g R - r c o s θ

Passo 3

Vamos testar os dois casos. Para isso temos que derivar a equação da energia potencial.

Vamos começar com o caso ( a ) . Sabemos que a energia potencial gravitacional neste caso é:

V g 1 = m g R + r c o s θ

Então, a derivando isso com relação a θ vamos ter que:

d V g 1 d θ = - m g R + r s e n θ

Para termos equilíbrio precisamos igualar esta equação a zero, então:

- m g R + r s e n θ = 0       →       s e n θ = 0

O s e n θ é zero em duas situações, quando:

θ = 0

θ = π

Neste caso, π tem que ser rejeitado porque não faz muito sentido. É como se a massa estivesse dentro da curva onde o cilindro se encontra.

Agora temos que derivar de novo para analisar a estabilidade:

d 2 V g 1 d θ 2 = - m g R + r c o s θ

Agora vamos substituir θ = 0 nesta expressão que acabamos de achar:

- m g R + r cos ⁡ 0

- m g R + r < 0

Repare que o resultado será negativo, então ele será sempre menor que zero e isso caracteriza a situação do equilíbrio instável!

Passo 4

Vamos fazer o mesmo processo para o segundo caso. A equação da energia potencial que achamos foi:

V g 2 = - m g R - r c o s θ

Agora vamos derivar ela com relação à θ :

d V g 2 d θ = m g R - r s e n θ

Para termos equilíbrio precisamos igualar esta equação a zero, então:

m g R - r s e n θ = 0       →       s e n θ = 0

O s e n θ é zero em duas situações, quando:

θ = 0

θ = π

Novamente vamos descartar a solução θ = π !

Agora temos que derivar de novo para analisar a estabilidade:

d 2 V g 2 d θ 2 = m g R - r c o s θ

Agora vamos substituir θ = 0 nesta expressão que acabamos de achar:

m g R - r cos ⁡ 0

m g R - r > 0

Repare que o resultado será positivo, então ele será sempre maior que zero e isso caracteriza a situação do equilíbrio estável!

Resposta

P r o v a   a c i m a

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