Exercícios Resolvidos de Energia Potencial

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2012, 309, 7/41

Duas barras idênticas estão soldadas em um ângulo de 120 ° e são articuladas em O , como mostrado. A massa do apoio é pequena em comparação à massa das barras. Investigue a estabilidade da posição de equilíbrio mostrada.

Passo 1

Vamos considerar a massa das duas barras juntas igual a m . Então, cada barrinha terá a metade desta massa:

Não se esqueça que a massa do apoio é desprezível!!!

Vamos primeiro determinar o centro de gravidade do conjunto usando esta fórmula aqui:

Y - = ∑ y - i m i ∑ m i

Repare que y - é:

Então, vamos ter que:

Y - = ∑ y - i m i ∑ m i         →           Y - = m 2 L 2 s e n 30 ° + m 2 L 2 s e n 30 ° m 2 + m 2

Y - = 2 m 2 L 2 s e n 30 ° m         →           Y - = L 4

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A força de reação está sendo aplicada em O . Assim, vamos calcular a energia potencial do corpo em relação ao ponto O :

V = V g = m g h

Esse h é a distância vertical do centro de gravidade até o ponto O que é a nossa referência:

Então, vamos ter que:

h = - L 4 - L 5 c o s θ

h = - L 20 c o s θ

Repare que o sinal negativo é porque estamos indo contra o sentido do eixo que criamos!

Agora podemos calcular a energia potencial do corpo em relação ao ponto O :

V g = m g h       →           V g = - m g L 20 c o s θ

Passo 3

Agora vamos calcular a derivada da energia potencial em relação ao ângulo:

d V d θ = m g L 20 s e n θ

Para θ = 0 vamos ter que:

d V d θ = m g L 20 s e n 0 = 0

Agora vamos derivar mais uma vez a equação que achamos:

d 2 V d θ 2 = m g L 20 c o s θ

Para θ = 0 vamos ter que:

d 2 V d θ 2 = m g L 20 cos ⁡ 0

m g L 20 > 0         →     E s t á v e l

Então, a estrutura está estável!!!

Resposta

E s t á v e l

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