Exercícios Resolvidos de Energia Total Relativística

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Enunciado

Um elétron, com massa de repouso m 0 e energia cinética K colide com um pósitron em repouso produzindo dois fótons, conforme ilustrado na figura abaixo. O pósitron é uma partícula com a mesma massa de repouso do elétron, porém com carga oposta.

( a ) Determine o comprimento de onda dos fótons em função de m 0 e K .

( b ) Encontre o ângulo θ de espalhamento.

Passo 1

Letra a : Para resolver este item, utilizaremos a conservação de energia. Como se trata de uma colisão entre partículas elementares (elétron e pósitron) criando fótons, temos então que considerar a colisão com sendo relativística. Deste modo, a equação para conservação de energia é

E i n i c i a l T = E f i n a l T

E e - + E e + = E f 1 + E f 2 I n i c i a l m e n t e ,   t e m o s   o   p ó s i t r o n   parado e o elétron colidindo com o pósitron com energia cinética K . Deste modo, temos que E e - = m 0 c 2 + K                       e                     E e + = m 0 c 2

Depois da colisão, temos dois fótons com mesmo comprimento de onda λ . Deste modo,

E f 1   = E f 2 = h   f = h c λ

onde usamos a relação c = λ   f . Note que os fótons não possuem energia de repouso.

Deste modo, substituindo na equação de conservação de energia,

m 0 c 2 + K + m 0 c 2 = h c λ + h c λ

λ = 2 h c 2 m 0 c 2 + K

Passo 2

Letra b : Para resolvermos este item, utilizaremos a conservação de momento linear. Este princípio nos diz que

p   → i n i c i a l T = p   → f i n a l T  

p   → e -     + p   → e +   = p   → f 1 +   p   → f 2

Inicialmente, o pósitron está parado e o elétron colide com o pósitron com um certo momento   p   → e - na direção   x ^ . Veja a figura abaixo que mostra antes da colisão.

Posteriormente, temos dois fótons cujos momentos   p   → f 1 e   p   → f 2 fazem um ângulo θ com a direção x ^ . Veja a figura a seguir.

Como a equação de conservação de momento é uma equação vetorial, devemos analisá-la em cada direção (x e y). Veremos isto no passo seguinte.

Passo 3

Vemos que na direção   x ^ , a equação de conservação de momento é

p e - + 0 = p f 1 cos ⁡ θ + p f 2 cos ⁡ θ  

p e - = p f 1 + p f 2 cos ⁡ θ

Já na direção   y ^ , a equação de conservação de momento retorna

0 + 0 = p f 1 sen ⁡ θ - p f 2 sen ⁡ θ

0 = p f 1 - p f 2 sen ⁡ θ

Desta última equação, como 0 < θ < π 2 , podemos concluir rapidamente que sen ⁡ θ ≠ 0 e

p f 1 = p f 2 =   p

Sendo assim, a equação de conservação de momento na direção   x ^ se torna

p e - = 2 p cos ⁡ θ

Utilizando a relação de de Broglie p = h λ , com λ o comprimento de onda dos fótons, temos que

p e - = 2 h cos ⁡ θ λ

Isolando o ângulo θ e utilizando o resultado do item ( a ) , temos que

θ = arccos ⁡ c p e - 2 m 0 c 2 + K

Ainda precisamos determinar p e - . Isto será realizado no próximo passo.

Passo 4

Para determinarmos p e - , utilizaremos a equação da energia do elétron antes da colisão E e - . Sabemos que E e - e p e - se relacionam por

E e - 2 - m 0 2 c 4 = c p e - 2

Deste modo, sabendo que E e - = m 0 c 2 + K , obtemos que c p e - = K 2 + 2 m 0 c 2 K Finalmente, substituindo na expressão para θ , temos que

θ = arccos ⁡ K 2 + 2 m 0 c 2 K 2 m 0 c 2 + K

Resposta

  1. λ = 2 h c 2 m 0 c 2 + K
  2. θ = arccos ⁡ K 2 + 2 m 0 c 2 K 2 m 0 c 2 + K

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