Exercícios Resolvidos de Energia Total Relativística

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Enunciado

Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é

  1. Igual à energia de repouso?
  2. Cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?

Passo 1

a) Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é igual à energia de repouso?

A energia total E é igual à soma da energia cinética K com a energia em repouso m c 2 . Assim:

E = K + m c 2

E = m c 2 1 - v 2 / c 2

Passo 2

De acordo com o enunciado, a energia cinética K é igual à energia em repouso.

K = m c 2

Substituindo na equação da energia, teremos que:

E = K + m c 2

m c 2 1 - v 2 / c 2 = m c 2 + m c 2 = 2 m c 2

Dividindo os dois membros por m c 2 :

1 1 - v 2 / c 2 = 2

1 - v 2 / c 2 = 1 2

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - v 2 c 2 = 1 4

Agora só temos que arrumar a equação para encontrar o valor de v :

v 2 c 2 = 1 - 1 4 = 3 4

v 2 = 3 4 c 2

v = 3 2 c = 0,866 c

Passo 3

b) Qual é a velocidade de uma partícula cuja energia cinética é cinco vezes maior do que o valor de sua energia de repouso?

De acordo com o enunciado, a energia cinética K é cinco vezes maior que a energia em repouso.

K = 5 m c 2

Substituindo na equação da energia, teremos que:

E = K + m c 2

m c 2 1 - v 2 / c 2 = 5 m c 2 + m c 2 = 6 m c 2

Dividindo os dois membros por m c 2 :

1 1 - v 2 / c 2 = 6

1 - v 2 / c 2 = 1 6

Elevando os dois lados ao quadrado:

1 - v 2 c 2 = 1 36

Agora só temos que arrumar a equação para encontrar o valor de v :

v 2 c 2 = 1 - 1 36 = 35 36

v 2 = 35 36 c 2

v = 35 36 c = 0,986 c

Resposta

a)

3 2 c = 0,866 c

b)

35 36 c = 0,986 c

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