Exercícios Resolvidos de Equação da Aleta

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Enunciado

Uma aleta cilíndrica deve ser utilizada para aumentar em 20 % a troca de calor entre uma parede e o ambiente. A parede tem a temperatura mantida a 200 ° C , e está exposta ao ar ambiente a 25 ° C .

O coeficiente de troca de calor por convecção entre a aleta e o ambiente vale 10   W / m 2 K . A aleta deve ser construída com um material de condutividade térmica igual a 100   W / m K .

Considerando condução unidimensional e que o comprimento da aleta tende ao infinito T L → T ∞ , determine o raio da aleta e a expressão para a variação de temperatura ao longo da aleta.

Passo 1

Se considerarmos somente a região onde a aleta está presente, a taxa de transferência de calor entre a parede (considerando uma área referente à base da aleta) e o ambiente será:

q = h . A . T b - T ∞ = π r 2 × 10 × 200 - 25

q = 1750 . π r 2

Como a aleta tem a função de aumentar em 20 % a troca de calor entre a parede e o ambiente, após a colocação da mesma, temos que:

q a = 1,2 . q = 1,2 × 1750 . π r 2

q a = 2100 . π r 2

Passo 2

De acordo com o problema, podemos considerar o Caso D da nossa teoria, ou seja, de uma aleta infinita.

Se olharmos na tabela, veremos que, pra esse caso, a taxa de transferência de calor é dada por:

q a = M = h . p . k . A c T b - T ∞

Como estamos trabalhando com uma aleta cilíndrica, teremos:

A = π r 2

p = 2 π r

Logo:

q a = h . 2 π r . k . π r 2 T b - T ∞

q a = 2 π 2 . h . k . r 3 T b - T ∞

Substituindo os valores:

q a = 2 π 2 × 10 × 100 × r 3 × 200 - 25

q a = 7826 . π r 3 / 2

Passo 3

Igualando as expressões para a taxa de transferência de calor na aleta:

q a = 7826 . π r 3 / 2 = 2100 . π r 2

r 1 / 2 = 3,727

r = 13,89   m

Passo 4

Ainda de acordo com a tabela, a distribuição de temperatura é dada por:

θ θ b = T x - T ∞ T b - T ∞ = e - m x

T x = T ∞ + T b - T ∞ . e - m x

Onde:

m = h P k A c = h . 2 π r k . π r 2 = 2 . h r . k = 2 × 10 13,89 × 100 → m = 0,12

Assim:

T x = 25 + 200 - 25 . e - 0,12   x

T x = 25 + 175 . e - 0,12   x

Resposta

r = 13,89   m

T x = 25 + 175 . e - 0,12   x

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