Exercícios Resolvidos de Equação da Aleta

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Enunciado

Um longo bastão circular de alumínio tem uma de suas extremidades fixada a uma parede aquecida e transfere calor por convecção para um fluido frio.

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Dado: k A l = 240   W / m K e k C u = 400   W / m K .

Passo 1

a Se o diâmetro do bastão fosse triplicado, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Quando o problema nos diz que o bastão é longo, isso quer dizer que podemos considerar o Caso D da nossa teoria, ou seja, de uma aleta infinita.

Se olharmos na tabela, veremos que, pra esse caso, a taxa de transferência de calor é dada por:

q a = M = h . p . k . A c T b - T ∞

Como estamos trabalhando com uma aleta cilíndrica, teremos:

A = π D 2 4

p = π D

Logo:

q a = h . π . D . k . π D 2 4 T b - T ∞

q a = h . π . k . π D 3 4 T b - T ∞ = h . π . k . π D 3 4 1 / 2 . T b - T ∞

Como estamos preocupados apenas com o que acontece quando mudamos o diâmetro (ou seja, as outras variáveis permanecem constantes), podemos ver pela equação acima que a taxa de transferência de calor é proporcional a D 3 / 2 :

q a   α   D 3 / 2

Passo 2

Agora que encontramos a relação entre a taxa de transferência de calor, podemos analisar o que acontece com a mesma se triplicarmos o diâmetro:

q a 3 D q a D = 3 D D 3 / 2

q a 3 D q a D = 3 3 / 2

q a 3 D = 5,2   q a D  

Passo 3

b Se um bastão de cobre com o mesmo diâmetro fosse usado em lugar do bastão de alumínio, qual seria a mudança na taxa de remoção de calor através do bastão?

Olhando novamente para a equação da taxa de transferência de calor:

q a = h . p . k . A c T b - T ∞

Vemos que, nesse caso, a mesma será proporcional k 1 / 2 , logo, ao mudarmos o material:

q a C u q a A l = k C u k A l 1 / 2

q a C u q a A l = 400 240 1 / 2

q a C u = 1,29   q a A l  

Resposta

a

q a 3 D = 5,2 q a D

b

q a C u = 1,29   q a A l

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