Exercícios Resolvidos de Equação da Aleta

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Enunciado

Aletas em forma de pino são amplamente utilizadas em sistemas eletrônicos para promover resfriamento, bem como suporte de componentes. Considere uma aleta em forma de pino de diâmetro uniforme D , comprimento L e condutividade térmica k conectando dois componentes de comprimento L g e área de superfície A g . Os componentes são caracterizados por uma geração volumétrica de energia térmica q ˙ e condutividade térmica k g . Considere que as superfícies expostas dos componentes estão a uma temperatura uniforme correspondente àquela da base da aleta pino ( T b ) e que o calor é transferido por convecção da superfície exposta para um fluido em contato. A parte posterior e as laterais dos componentes estão perfeitamente isoladas.

Deduza uma expressão para a temperatura da base T b em função dos parâmetros do componente ( k g , q ˙ , L g e A g ), dos parâmetros de convecção ( T ∞ e h ) e dos parâmetros da aleta ( k , D e L ).

Passo 1

Observamos que haverá troca de calor, por condução, no interior da aleta e, por convecção, nas superfícies dos componentes e da aleta.

Devido à simetria do problema, a gente pode resolver só um dos lados e afirmar que acontece o mesmo do lado oposto. Com isso, dizemos que as duas metades não trocam calor entre si e vamos usar as equações do caso B de aleta adiabática na extremidade:

Essa estratégia é a mesma que fazemos com uma parede plana de condições de contorno simétricas.

Pelo balanço de energia na superfície de controle:

Então, a gente tem uma taxa de energia que entra (proveniente da geração de calor) e parte dessa energia sai pela aleta ( q a ) e parte sai pela superfície lisa ( q s ):

E ˙ e = E ˙ s

q d = q s + q a

Tudo que está entrando de energia nessa superfície ( q d ) vem da geração volumétrica na parede. Então, a gente pode fazer um balanço de energia na parede pra expressar essa taxa de entrada ( q d ):

E ˙ e - E ˙ s + E ˙ g = E ˙ a

0 - E ˙ s + E ˙ g = 0

E ˙ s = E ˙ g

q d = q ˙ . V

Em termos dos dados geométricos que temos, o volume pode ser reescrito:

q d = q ˙ . A g . L g

Substituindo no balanço de superfície, a gente fica com:

q d = q s + q a

q ˙ . A g . L g = q s + q a

Agora a gente precisa achar uma expressão para a taxa de calor que sai pela superfície plana ( q s ) e a taxa de calor que sai pela aleta ( q a )!

Passo 2

Bora determinar primeiro o mais fácil: a taxa de calor pela superfície lisa ( q s )! Isso é simplesmente uma convecção sobre uma superfície, então a gente calcula pela lei de resfriamento de Newton:

q s = h . A . ( T s - T ∞ )

Nesse caso a temperatura da superfície é a mesma da base ( T b ) e a área de troca térmica da parede lisa será:

A = A g - A c

Substituindo os valores da aleta:

A = A g - π . D 2 4

Logo:

q s = h . A g - π . D 2 4 . ( T b - T ∞ )

Passo 3

Agora, a gente precisa calcular a taxa de calor da aleta!

A aleta em questão se enquadra no caso B , então a taxa de calor perdida por ela pode ser escrita como:

q a = M . tanh ⁡ m . L 2

Em que:

M = h . P . k . A c . T o - T ∞                         e                         m = h . P k . A c

Bora calcular cada um deles então!

A área A c já foi calculada antes e o perímetro é dado por:

P = π . D

Logo:

M = h . ( π . D ) . k . π . D 2 4 . T o - T ∞

M = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞

E ainda:

m = h . ( π . D ) k . π . D 2 4

m = 4 . h k . D

Substituindo na expressão da taxa de calor da aleta:

q a = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ 4 . h k . D . L 2

q a = π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ h k . D . L

Passo 4

Substituindo as expressões do calor trocado pela superfície plana ( q s ) e pela aleta ( q a ) no balanço de energia na superfície:

q ˙ . A g . L g = q s + q a

q ˙ . A g . L g = h . A g - π . D 2 4 . ( T b - T ∞ ) + π 2 . h . k . D 3 . T o - T ∞ . tanh ⁡ h k . D . L

Isolando a temperatura da base ( T b ):

T b = T ∞ + q ˙ . A g . L g . h . A g - π . D 2 4 + π 2 . h . k . D 3 . tanh ⁡ h k . D . L - 1

Resposta

T b = T ∞ + q ˙ . A g . L g . h . A g - π . D 2 4 + π 2 . h . k . D 3 . tanh ⁡ h k . D . L - 1

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