Exercícios Resolvidos de Equação da Aleta

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Enunciado

Sejam dois bastões longos e delgados de mesmo diâmetro, porém feitos de materiais diferentes. Uma extremidade de cada bastão está fixada a uma superfície (base) mantida a 100 ° C , enquanto as suas superfícies estão expostas ao ar ambiente a 20 ° C .

Ao mover ao longo do comprimento de cada bastão um termopar, foram observadas temperaturas iguais nas posições x A = 0,15   m e x B = 0,075   m , onde x é medido a partir da base.

Se a condutividade térmica do bastão A é conhecida e igual a k A = 70   W / m K , determine o valor de k B para o bastão B .

Passo 1

Vamos nessa! O problema nos diz que ambos os bastões são longos, certo?!

Então, para ambos vamos considerar o Caso D da nossa tabela na Teoria, ou seja, o caso de aletas infinitas.

Nesse caso, a distribuição de temperatura é dada por:

θ θ b = T - T ∞ T b - T ∞ = e - m x

m = h P k A c

Passo 2

De acordo com o problema, os dois bastões apresentam a mesma temperatura em x A = 0,15   m e x B = 0,075   m . Dessa forma, podemos dizer que:

T A x A = T B x B

θ A x A = θ B x B

Igualando as duas expressões, temos que:

θ b e - m A x A = θ b e - m B x B

m A x A = m B x B

Substituindo a expressão de m para cara bastão:

h P k A A c x A = h P k B A c x B

Elevando os dois lados ao quadrado:

h P k A A c x A 2 = h P k B A c x B 2

x A 2 k A = x B 2 k B

k B = k A x B 2 x A 2

Onde:

k A = 70   W / m K

x A = 0,15   m

x B = 0,075   m

Logo:

k B = 70 0,075 0,15 2

k B = 17,5   W / m K

Resposta

k B = 17,5   W / m K

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