Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G2 - 2013.1, Questão 1

Ache a solução geral do sistema em diferenças finitas X n + 1 = B X n onde:

B = 1 1 - 1 3

Passo 1

Primeiro, olhe para equação em diferenças finitas que queremos resolver:

X n + 1 = B X n

Fazendo n = 0 , temos

X 1 = B X 0

Agora n = 1 ,

X 2 = B X 1 = B 2 X 0

Agora n = 2 ,

X 3 = B X 2 = B 3 X 0

E assim por diante, ficamos com:

X n = B n X 0

Onde X 0 é a condição inicial.

Agora só temos que calcular B n e resolveremos a questão.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, se a matriz B   for diagonalizável será ótimo pois vai ser muito fácil calcular B n .

Pois se podermos transformar B numa matriz diagonal cujo elementos da sua diagonal são seus autovetores λ 1 e λ 2 teríamos:

B n = λ 1 0 0 λ 2 n = λ 1 n 0 0 λ 2 n

Então, para saber se podemos diagonalizar uma matriz temos que achar seus autovalores e autovetores.

Então vamos lá!

Para achar os autovalores da matriz B , fazemos

det B - λ I = 0

Onde I é a matriz identidade.

Aí, ficamos com

1 - λ 1 - 1 3 - λ = 0

1 - λ 3 - λ - - 1 1 = 0

3 - λ - 3 λ + λ 2 + 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação do segundo grau λ 2 - 4 λ + 4 = 0 .

O discriminante da equação é:

Δ = b 2 - 4 a c = 16 - 16 = 0

Então

λ = 4 ± 0 2 = 2

Portanto a matriz B só tem um autovalor. E como consequência somente um autovetor e portanto a matriz B não é diagonalizável.

E agora?? Você deve estar se perguntando. Calma!! Temos outra saída!!

Vamos calcular o polinômio de Taylor de grau 1 em torno do ponto x = 2 (que é o nosso único autovalor) da função f x = x n pois f B = B n e daí teremos nossa resposta.

Passo 4

Bom, para calcular o polinômio de Taylor de grau 1 de uma função f x qualquer em torno de um ponto x 0 qualquer, temos que usar a fórmula abaixo:

f x = f x 0 + f ' ( x 0 ) ( x - x 0 )

Na forma matricial o polinômio acima fica

f B = f x 0 I + f ' ( x 0 ) ( B - x 0 I )

Onde I é matriz identidade.

Passo 5

Vamos aplicar a expressão matricial acima para o nosso problema.

Fazemos x 0 = 2 e temos

f B = f 2 I + f ' ( 2 ) ( B - 2 I )

B n = 2 n I + n 2 n - 1 ( B - 2 I )

B n = 2 n I + n 2 n - 1 B - n 2 n I

B n = 2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1 3 n 2 n - 1 - n 2 n 0 0 n 2 n

B n = 2 n + n 2 n - 1 - n 2 n n 2 n - 1 - n 2 n - 1 2 n + 3 n 2 n - 1 - n 2 n

Que é a solução do nosso problema!

Resposta

X n = 2 n + n 2 n - 1 - n 2 n n 2 n - 1 - n 2 n - 1 2 n + 3 n 2 n - 1 - n 2 n X 0

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