Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

x n + 1 = x n - 5 y n

y n + 1 = x n - 3 y n

Com a seguinte condição inicial

X 0 = 2 - 1

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que escrever esse sistema da forma matricial, fazendo

X n = x n y n

Vamos ter

X n + 1 = x n + 1 y n + 1

E o sistema vai ser, na forma matricial, da seguinte forma

X n + 1 = 1 - 5 1 - 3 X n

Precisamos achar a matriz A n , vamos começar achando os autovalores de A

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

1 - λ - 5 1 - 3 - λ = 0

1 - λ - 3 - λ - - 5 = 0

- 3 - λ + 3 λ + λ 2 + 5 = 0

λ 2 + 2 λ + 2 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - 2 + 2 2 - 4 . 2 1 2.1 = - 2 + 4 - 8 2 = - 2 + - 4 2 = - 2 + 4 i 2 = - 2 + 2 i 2 = - 1 + i

λ 1 = - 2 - 2 2 - 4 . 2 1 2.1 = - 2 - 4 - 8 2 = - 2 - - 4 2 = - 2 - 4 i 2 = - 2 - 2 i 2 = - 1 - i

Passo 3

Aqui achamos autovalores complexos, antes de resolver a fórmula de A n temos que achar o módulo ρ e o argumento θ do número complexo, primeiro vamos lembrar como é a forma dele. Vamos ter

λ = a ± b i

Dessa forma

a = - 1

b = 1

Vamos achar o módulo de λ

ρ = a 2 + b 2

ρ = - 1 2 + 1 2

ρ = 1 + 1

ρ = 2

Vamos agora ao argumento, vamos ter

sen θ = 1 2 = 2 2

cos θ = - 1 2 = - 2 2

O ângulo que tem esse seno seria 45 ° ou 135 ° mas só o 135 ° tem cosseno negativo. Então

θ = 3 π 4

Lembra que o ângulo precisa estar em radianos.

Passo 4

Vamos agora a matriz A n

A n = ρ n b cos n θ - a sen n θ b I + sen n θ b A

2 n 1 cos n 3 π 4 - - 1 sen n 3 π 4 1 1 0 0 1 + sen n 3 π 4 1 1 - 5 1 - 3

2 n cos n 3 π 4 + sen n 3 π 4 1 0 0 1 + sen n 3 π 4 1 - 5 1 - 3

2 n cos n 3 π 4 + sen n 3 π 4 0 0 cos n 3 π 4 + sen n 3 π 4 + sen n 3 π 4 - 5 sen n 3 π 4 sen n 3 π 4 - 3 sen n 3 π 4

2 n sen n 3 π 4 + cos n 3 π 4 + sen n 3 π 4 - 5 sen n 3 π 4 sen n 3 π 4 - 3 sen n 3 π 4 + cos n 3 π 4 + sen n 3 π 4

2 n 2 sen n 3 π 4 + cos n 3 π 4 - 5 sen n 3 π 4 sen n 3 π 4 - 2 sen n 3 π 4 + cos n 3 π 4

A n = 2 2 n sen n 3 π 4 + 2 n cos n 3 π 4 - 5 2 n sen n 3 π 4 2 n sen n 3 π 4 - 2 2 n sen n 3 π 4 + 2 n cos n 3 π 4

Passo 5

Agora que temos A n como vamos chegar em X n ? Lembra que vai ficar assim

X n = A n X 0

E nesse caso X 0 foi dado no enunciado

X n = 2 2 n sen n 3 π 4 + 2 n cos n 3 π 4 - 5 2 n sen n 3 π 4 2 n sen n 3 π 4 - 2 2 n sen n 3 π 4 + 2 n cos n 3 π 4 2 - 1

X n = 4 2 n sen n 3 π 4 + 2 2 n cos n 3 π 4 + 5 2 n sen n 3 π 4 2 2 n sen n 3 π 4 + 2 2 n sen n 3 π 4 - 2 n cos n 3 π 4

X n = 9 2 n sen n 3 π 4 + 2 2 n cos n 3 π 4 4 2 n sen n 3 π 4 - 2 n cos n 3 π 4

E aí está a solução do nosso sistema de Equações. Vamos ter

x n = 9 2 n sen n 3 π 4 + 2 2 n cos n 3 π 4

y n = 4 2 n sen n 3 π 4 - 2 n cos n 3 π 4

Resposta

x n = 9 2 n sen n 3 π 4 + 2 2 n cos n 3 π 4

y n = 4 2 n sen n 3 π 4 - 2 n cos n 3 π 4

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