Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

X n + 1 = 3 - 1 1 1 X n

Com a seguinte condição inicial

X 1 = 1 1

Passo 1

O sistema já está na forma matricial, temos que achar a matriz A n , primeiro fazemos os autovalores de A n lembra? Vamos a eles.

A primeira coisa que devemos fazer é identificar o valor da matriz A

A = 3 - 1 1 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar o autovalores de A .

Lembra é só fazer

3 - λ - 1 1 1 - λ = 0

3 - λ 1 - λ - - 1 . 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 + 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 4 = 0

λ 1 = λ 2 = 2

Encontramos dois autovalores reais e diferentes, vamos agora fazer o valor de A n pela fórmula que vimos na teoria.

Passo 3

Como os autovalores são reais e iguais, vamos ter

A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

2 n 1 0 0 1 + n 2 n - 1 3 - 1 1 1 - 2 1 0 0 1

2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 3 - 1 1 1 - 2 0 0 2

2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 3 - 2 - 1 - 0 1 - 0 1 - 2

2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 1 - 1 1 - 1

2 n 0 0 2 n + n 2 n - 1 - n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1

n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 + 0 n 2 n - 1 + 0 - n 2 n - 1 + 2 n

A n = n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n

Passo 4

Agora que temos A n como vamos chegar em X n ? Lembra que vai ficar assim

X n = A n X 0

E nesse caso X 0 foi não dado no enunciado, vamos fazer pelo que ele disse, ou seja X 1

X 1 = A 1 X 0

X 1 = A X 0

Vamos fazer

X 0 = C 1 C 2

Substituindo os valores todos vamos ter

1 1 = 3 - 1 1 1 C 1 C 2

3 C 1 - C 2 = 1

C 1 + C 2 = 1

Somando as duas equações vamos ter

4 C 1 = 2

C 1 = 1 2

Trocando isso na segunda equação vamos achar

1 2 + C 2 = 1

C 2 = 1 - 1 2

C 2 = 1 2

Então

C 1 = C 2 = 1 2

Passo 5

Vamos agora para a solução geral

X n = A n X 0

X n = n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 n 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n 1 2 1 2

X n = n 2 n - 1 + 2 n 2 - n 2 n - 1 2 n 2 n - 1 2 + - n 2 n - 1 + 2 n 2

X n = n 2 n - 1 + 2 n - n 2 n - 1 2 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n 2

X n = 2 n 2 2 n - 1 - n 2 n - 1 + 2 n 2

X n = 2 n - 1 2 n - 2 - n 2 n - 2 + 2 n - 1

Resposta

X n = 2 n - 1 2 n - 2 - n 2 n - 2 + 2 n - 1

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