Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

Elaboração Própria

Resolva o sistema e de equações de diferença abaixo.

x n + 1 = 2 x n + y n y n + 1 = x n + 2 y n

Com a seguinte condição inicial

X 0 = 1 - 2

Passo 1

Antes de qualquer coisa temos que escrever esse sistema da forma matricial, fazendo

X n = x n y n

Vamos ter

X n + 1 = x n + 1 y n + 1

E o sistema vai ser, na forma matricial, da seguinte forma

X n + 1 = 2 1 1 2 X n

Temos que achar a matriz A n , primeiro fazemos os autovalores de A n lembra? Vamos a eles.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora temos que achar os autovalores dessa parada, vamos fazer

2 - λ 1 1 2 - λ = 0

2 - λ 2 - λ - 1 = 0

4 - 4 λ + λ 2 - 1 = 0

λ 2 - 4 λ + 3 = 0

Resolvendo essa equação de 2 º grau, vamos ter

λ 1 = - - 4 + - 4 2 - 4 . 1 3 2.1 = 4 + 16 - 12 2 = 4 + 4 2 = 4 + 2 2 = 6 2 = 3

λ 2 = - - 4 - - 4 2 - 4 . 1 3 2.1 = 4 - 16 - 12 2 = 4 - 4 2 = 4 - 2 2 = 2 2 = 1

Encontramos dois autovalores reais e diferentes, vamos agora fazer o valor de A n pela fórmula que vimos na teoria.

Passo 3

Como os autovalores são reais e diferente, vamos ter

A n = λ 1 n I + λ 1 n - λ 2 n λ 1 - λ 2 A - λ 1 I

3 n 1 0 0 1 + 3 n - 1 n 3 - 1 2 1 1 2 - 3 1 0 0 1

3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 2 1 1 2 - 3 0 0 3

3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 2 - 3 1 - 0 1 - 0 2 - 3

3 n 0 0 3 n + 3 n - 1 2 - 1 1 1 - 1

3 n 0 0 3 n + - 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 3 n + 1 2

- 3 n + 1 2 + 3 n 3 n - 1 2 + 0 3 n - 1 2 + 0 - 3 n + 1 2 + 3 n

- 3 n + 1 2 + 2 3 n 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 3 n + 1 2 + 2 3 n 2

A n = 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 3 n + 1 2

Um detalhe aqui que é importante é, se você trocar o nome dos caras, fazendo λ 1 = 1 e λ 2 = 3 a matriz A n precisa ser exatamente igual, não faz sentido ser diferente porque a potenciação de matriz é uma resposta única, fica atento as contas que são bem chatinhas.

Passo 4

Agora que temos A n como vamos chegar em X n ? Lembra que vai ficar assim

X n = A n X 0

E nesse caso X 0 foi dado no enunciado

X n = 3 n + 1 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 3 n + 1 2 1 - 2

X n = 3 n + 1 2 - 2 3 n - 1 2 3 n - 1 2 - 2 3 n + 1 2

X n = 3 n + 1 - 2 3 n + 2 2 3 n - 1 - 2 3 n - 2 2

X n = - 3 n + 3 2 - 3 n - 3 2

E aí está a solução do nosso sistema de Equações. Vamos ter

x n = - 3 n + 3 2

y n = - 3 n - 3 2

Resposta

x n = - 3 n + 3 2

y n = - 3 n - 3 2

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