Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

PUCRIO, Cálculo 4 - MAT1154, G3 - 2017.1, Questão 3

Considere a matriz

A = - 1 - 2 2 3

( a ) Determine A n .

( b ) Mostre que os autovalores de A n são iguais a 1 para todo n N .

Passo 1

( a ) Para fazer A n , precisamos encontrar seus autovalores. Fazendo:

det A - λ I = 0

- 1 - λ - 2 2 3 - λ = 0

- 1 - λ 3 - λ - - 2 2 = 0

- 3 + λ - 3 λ + λ 2 + 4 = 0

λ 2 - 2 λ + 1 = 0

λ - 1 2 = 0

λ = 1

Como temos apenas 1 autovalor, a nossa solução será:

A n = λ n I + n λ n - 1 A - λ I

λ n = 1 n = 1

λ n - 1 = 1 n - 1 = 1

A n = 1 0 0 1 + n - 2 - 2 2 2

A n = 1 - 2 n - 2 n 2 n 1 + 2 n

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

( b ) Vamos calcular os autovalores de A n

det A n - λ I = 0

1 - 2 n - λ - 2 n 2 n 1 + 2 n - λ = 0

( 1 - λ ) - 2 n 1 - λ + 2 n - - 2 n 2 n = 0

1 - λ 2 - 4 n 2 + 4 n 2 = 0

Perceba que agora a expressão não depende mais de n , então para todo n N :

1 - λ 2 = 0

λ = 1

Prontinho!

Resposta

a   A n = 1 - 2 n - 2 n 2 n 1 + 2 n

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