Exercícios Resolvidos de Equação de Diferença – Homogênea

UNICAMP, Cálculo 3, P2 - 2017.1 - Vespertino, Questão 3

Dado que x = 0 é um ponto ordinário para a equação

x 2   - 1 y ' ' - 6 x y ' + 12 y = 0

a Prove que a fórmula de recorrência da equação em ( a ) é

a n + 2 =   ( n - 4 ) ( n - 3 ) a n ( n + 2 ) ( n + 1 )

para n   0 .

( b ) A partir da relação de recorrência determine a fórmula para o coeficiente geral da solução da equação.

( c ) Identifique as duas soluções por séries em torno de x = 0 que são linearmente independentes.

Passo 1

Vamos assumir que y = n = 0 a n x n é solução. Para isso, temos que verificar se ele respeita a EDO. Então, calcularemos suas derivadas:

y = n = 0 a n x n y ' = n = 1 n a n x n - 1 y ' ' = n = 2 n ( n - 1 ) a n x n - 2

Substituindo na EDO:

x 2 - 1 n = 2 n n - 1 a n x n - 2 - 6 x n = 1 n a n x n - 1 + 12 n = 0 a n x n = 0

Reorganizando esses termos:

n = 2 n n - 1 a n x n - n = 2 n n - 1 a n x n - 2 - n = 1 6 n a n x n + n = 0 12 a n x n = 0

Agora, temos que manipular os índices ao máximo possível de forma a garantir que esses somatórios possuam os mesmos limites.

n = 2 n n - 1 a n x n - n = 0 ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x n - n = 1 6 n a n x n + n = 0 12 a n x n = 0

Vamos deixar todos com o limite inferior igual a dois. Então:

n = 0 ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x n = 2 a 2 + 6 a 3 x + n = 2 ( n + 2 ) n + 1 a n + 2 x n

n = 1 6 n a n x n = 6 a 1 x + n = 2 6 n a n x n

n = 0 12 a n x n = 12 a 0 + 12 a 1 x + n = 2 12 a n x n

Substituindo na EDO novamente e organizando tudo dentro de um só somatório:

n = 2 - n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 + 12 - 6 n a n x n - 2 a 2 - 6 a 3 x - 6 a 1 x + 12 a 0 + 12 a 1 x = 0

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora comparando ambos os lados da equação, ficamos com:

- 2 a 2 + 12 a 0 = 0 a 2 = 6 a 0 - 6 a 3 - 6 a 1 + 12 a 1 = 0 a 3 = a 1

E ainda:

- n + 2 n + 1 a n + 2 + n n - 1 + 12 - 6 n a n = 0                             ( * )

Olha um pouquinho esse termo e vamos tentar fatorar de maneira bonitinha aquele polinômio do segundo grau:

n n - 1 + 12 - 6 n n 2 - 7 n + 12

Se olharmos pras raízes dessa coisa linda, veremos que n 1 = 4 e n 2 = 3 . Então, pode ser escrito como

n 2 - 7 n + 12 ( n - 4 ) ( n - 3 )

Substituindo isso em ( * ) :

- n + 2 n + 1 a n + 2 + ( n - 4 ) ( n - 3 ) a n = 0

a n + 2 = n - 4 n - 3 a n n + 2 n + 1

Como queríamos demonstrar!

Passo 3

Mas se liga que ainda não acabou! Isso que acabamos de mostrar vale para n 2 , já que é de onde começa o nosso somatório lá em cima.

Será que essa relação funciona para n = 0 e n = 1 ? Vamos checar!

- n = 0

a 2 = 0 - 4 0 - 3 a 0 0 + 2 0 + 1 = 6 a 0

- n = 1

a 3 = 1 - 4 1 - 3 a 1 1 + 2 1 + 1 = a 1

E essas duas relações são verdade (achamos lá em cima também!), ou seja, a nossa fórmula é realmente válida para n 0 :)

Passo 4

Bora encontrar o termo geral dessa equação de recorrência? Bom, observe as relações abaixo:

n = 2 , a 4 = a 2 / 6 a 4 = a 0 n = 3 , a 5 = 0 n = 4 , a 6 = 0

Portanto, perceba que, como havíamos encontrados antes,

a 2 = 6 a 0 ,   a 3 = a 1 ,   a 4 = a 0 ,   a n = 0   n 5

Passo 5

A maneira é pegar os três primeiros termos pares 0 ,   2,4   (já que estão definidos) e pegar os termos ímpares até três   1,3 .

y 1 = a 0 x 0 + a 2 x 2 + a 4 x 4 = 1 + 6 x 2 + x 4

y 2 = a 1 x + a 3 x 3 = x + x 3

Resposta

b   a 2 = 6 a 0 ,   a 3 = a 1 ,   a 4 = a 0 ,   a n = 0   n 5

c   y 1 = 1 + 6 x 2 + x 4 ,     y 2 = x + x 3

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas