Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

12. A equação 81 x / 2 + 12 3 x - 1 - 21 = 0

  1. Não possui solução real
  2. Possui apenas uma solução real
  3. Possui apenas duas soluções reais
  4. Possui quatro soluções reais
  5. Possui infinitas soluções reais.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos a seguinte expressão

81 x / 2 + 12 3 x - 1 - 21 = 0

E precisamos dizer quais das opções é verdade. Mas repara que a nossa icognita está no expoente, então vamos relembrar algumas propriedades exponencias:

c b d = c b d

c b + d = c b . c d

c b - d = c b c d

Agora vamos tentar aplicar essas propriedades!

Passo 2

Mas antes de começarmos, temos que deixar tudo na mesma base! Pois sem isso, não conseguimos aplicar as propriedades.

Repara que a nossa menor base é 3 . Então vamos deixar cada parte na base 3 .

Vamos começar pelo 81 , que pode ser escrito como

81 = 3 × 3 × 3 × 3 = 3 4

Logo,

81 x 2 = 3 4 x 2

Aplicando a seguinte propriedade c b d = c b d

Temos que

81 x 2 = 3 4 x 2 = 3 2 x

Passo 3

Vamos agora para o nosso termo 12 3 x - 1

Note que

12 = 3 × 4

Logo,

12 3 x - 1 = 4 × 3 × 3 x - 1

Aplicando,

c b + d = c b . c d

Temos que

12 3 x - 1 = 4 3 x

Passo 4

Por fim, o 21 pode ser escrito como

21 = 3 × 7

Logo a nossa função pode ser escrita assim:

3 2 x + 4 3 x - 7 3 = 0

Passando o termo negativo para o outro lado, ficamos com

3 2 x + 4 3 x = 7 3

Isolando tudo que é 3 de um lado só

3 2 x 3 + 4 3 x 3 = 7

Aplicando,

c b - d = c b c d

Temos que

3 2 x - 1 + 4 3 x - 1 = 7

Agora vamos raciocinar sobre essa equação!

Passo 5

Galerinha, presta atenção na grande sacada! A nossa soma tem que dar 7 , né? E temos que

3 + 4 = 7

Ou seja, eu posso dizer que para a nossa solução ser verdade temos que uma parte tem quer ser

3 2 x - 1 = 3

Daqui eu tiro que

2 x - 1 = 1

x = 1

Mas isso também tem que valor parar outra parte. Onde, teríamos

4 3 x - 1 = 4

3 x - 1 = 1

Como todo número elevado a zero é igual a um, teríamos que

x - 1 = 0

Opaaa, temos que

x = 1

Logo só temos uma solução possível onde x = 1 .

Resposta

b

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