Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

  1. Sobre a equação log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ x = 2 log 2 ⁡ 5

Pode-se afirmar que:

  1. não possui solução real ;
  2. possui única solução real;
  3. possui duas soluções reais;
  4. possui três soluções reais;
  5. possui infinitas soluções reais.

Passo 1

Fala aí pessoal! Nos deparamos com uma equação envolvendo logaritmos

log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ x = 2 log 2 ⁡ 5

Nossa tarefa aqui é tentar trazer os logs para uma mesma base e usar as propriedades dos logs para chegar em uma equação mais simples de resolver. Partiu?

Passo 2

Bom, a primeira coisa que a gente pode fazer é manipular essa expressão multiplicando cruzado:

log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ x = 2 log 2 ⁡ 5 → log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ 5 = 2 log 2 ⁡ x

Agora a gente pode usar a propriedade:

log ⁡ x a = a log ⁡ x

E temos

log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ 5 = 2 log 2 ⁡ x =   log 2 ⁡ x 2

Ainda não dá para mexer muito né? Vamos ter que por os logs na mesma base

Passo 3

Para mudar a base de um log usamos:

log b ⁡ a   = log c ⁡ a log c ⁡ b  

Vamos por todo mundo na base 2 . Então a gente só precisa mudar

log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) = log 2 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ 5

Então a nossa equação se torna

log 2 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ 5 log 2 ⁡ 5 = log 2 ⁡ x 2

Simplificando temos

log 2 ⁡ ( 3 x - 2 ) = log 2 ⁡ x 2  

Bem melhor né?... Mas o que a gente faz com isso?

Passo 4

Como temos uma igualdade de dois logs de mesma base, a gente iguala seus argumentos:

log 2 ⁡ 3 x - 2 = log 2 ⁡ x 2

3 x - 2 = x 2

Arrumando a gente tem essa equação do segundo grau aqui:

x 2 - 3 x + 2 = 0

Essa equação a gente consegue encontrar as raízes x = 2 e x = 1 . Que são as soluções da nossa equação original... UFA!!

Podemos dizer então que a equação

log 5 ⁡ ( 3 x - 2 ) log 2 ⁡ x = 2 log 2 ⁡ 5

Possui duas soluções reais!

Resolvemos esse problema 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra c.

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