Exercícios Resolvidos de Equação exponencial e logarítmica

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Enunciado

14. A solução real da equação

2 x + 1 2 x + 2 - 3 x = 2 x + 2 + 3 x 2 x - 1  

É

  1. x =   log 3 / 2 ⁡ 15 ;
  2. x =   log 2 / 3 ⁡ 15 ;
  3. x =   log 3 / 2 ⁡ 15 ;
  4. x =   log 2 / 3 ⁡ 15 ;
  5. x =   log 3 / 2 ⁡ 15 4 .

Passo 1

Fala aí pessoal! Essa questão tá querendo que a gente resolva a equação

2 x + 1 2 x + 2 - 3 x = 2 x + 2 + 3 x 2 x - 1

No geral, para equações onde as incógnitas estão nos expoentes a gente sempre tenta melhorar a equação para por tudo em uma mesma base e daí igualar os expoentes. Então vamos manipular essa equação e ver no que dá!

Passo 2

Primeiro vamos multiplicar cruzado a equação:

2 x + 1 2 x - 1 = 2 x + 2 + 3 x . ( 2 x + 2 - 3 x )

No lado da esquerda a gente usa que

a b a c = a b + c

Então temos

2 2 x =   2 x + 2 + 3 x . ( 2 x + 2 - 3 x )

Agora, no lado da direita, a gente usa o produto notável a + b a - b = a 2 - b 2 e ficamos com

2 2 x = 2 x + 2 2 - 3 x 2

Lembrando que a b c = a b c temos

2 2 x = 2 2 x + 4 - 3 2 x

Vamos deixar os termos que envolvem a base 2   juntos. Manipulando um pouco temos

3 2 x = 2 2 x + 4 - 2 2 x

No lado da direita a gente pode por o 2 2 x em evidência:

3 2 x = 2 2 x 2 4 - 1 = 2 2 x 2 4 - 1 = 15 . 2 2 x  

3 2 x = 15.2 2 x

O que a gente pode fazer agora é passar aquele 2 2 x para o outro lado da igualdade (Fazemos isso pois ambos os termos possuem o mesmo expoente)

3 2 2 x = 15

Passo 3

Após as manipulações nos deparamos com a equação

3 2 2 x = 15

Para melhorar a cara disso, podemos tirar a raiz em ambos os lados

3 2 2 x = 15

3 2 x = 15

Agora para resolver isso, a gente tira o logo na base 3 2 em ambos os lados

log 3 2 ⁡ 3 2 x = log 3 2 ⁡ 15  

A gente faz isso porque temos a propriedade

log a ⁡ a b = b

Então temos

x =   log 3 2 ⁡ 15

E aí resolvemos a nossa equação 😊 Vamos para a próxima?

Resposta

Letra a.

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