Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

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Enunciado

  1. Considerando as retas r 1 : x , y , z = 1 + 2 t , t , 2 + 3 t e r 2 : x , y , z = t , 1 + m t ,   - 1 + 2 m t :
  1. Determine a equação do plano que contém as retas r 1 e r 2

Passo 1

Fala aí, galerinhaa!

Esse problema nos deu duas equações de reta parametrizadas do tipo: r : x , y , z =   ( a t + x 0 ,   b t + y 0 , c t + z 0 , )

Nesse tipo de equação v → = a , b , c é o vetor paralelo à reta e x 0 ,   y 0 , z 0 é um ponto pertencente à reta, beleza?

É importante lembrar que no outro item dessa questão a gente viu que para as retas estarem no mesmo plano tínhamos que ter m =   - 2 / 7 . Sem isso a gente não ia conseguir fazer essa, oK? E também a gente tem que lembrar que para esse valor de m as retas são perpendiculares entre si!O que a gente vai fazer é escrever dois vetores não paralelos que passam nesse plano usando a equação das retas e definir a equação do plano através de algum ponto do plano também.Então partiu!!

Passo 2

As retas que o problema nos deu, usando m =   - 2 / 7 , são:

r 1 : x , y , z = 1 + 2 t , t , 2 + 3 t

r 2 : x , y , z = t , 1 - 2 t 7 ,   - 1 - 4 t 7

A gente viu que os vetores paralelos às retas v → 1 = 2,1 , 3 v → 2 = 1 , - 2 7 , - 4 7

São perpendiculares entre si. Então dá para usar esses vetores para construir a equação do plano!! Dá para representar o plano que a gente quer através dessa figura aqui:

Aquele vetor v → 1 é o vetor que define r 1 e aquele vetor v → 2 é o vetor que define a reta r 2

Precisamos também definir um ponto A do plano. Para isso a gente pode pegar qualquer ponto da reta r 1 . Então vamos fazer t = 0 na equação da reta: A = 1 + 2 × 0 , 0 , 2 + 3 × 0 A = ( 1 ,   0 ,   2 )

Beleza, temos tudo que a gente precisa 😊

Passo 3

Agora que temos dois vetores não paralelos do plano:

v → 1 = 2,1 , 3 v → 2 = 1 ,   - 2 7 , - 4 7

E um ponto A do plano

A = ( 1,0 , 2 )

a equação do plano é dada igualando o determinante abaixo a zero:

x - 1 y - 0 z - 2 2 1 3 1 - 2 / 7 - 4 / 7 = 0

Calculando esse determinante temos: - 4 7 . x - 1 + 3 y - 4 7 z - 2 - z - 2 + 6 7 x - 1 + 8 7 y =   0 2 7 x - 2 7 - 28 7 y - 11 7 z + 22 7 = 0 2 7 x - 28 7 y - 11 7 z + 20 7 = 0

Ou melhor:

2 x - 28 y - 11 z + 20 = 0 Prontoo!! Chegamos na equação do plano 😊 Vamos para a próxima questão??

Resposta

2 x - 28 y - 11 z + 20 = 0