Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

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Enunciado

Considere o sistema linear

x + y - z + α t = 1 , x + z - α t = 2 , α x + y + z = - 1

nas incógnitas reais x ,   y ,   z e t . Denote por A o conjunto dos números reais α para os quais o conjunto das soluções desse sistema é descrito usando-se duas variáveis livres. Assinale a alternativa correta:

  1. A possui dois elementos, sendo um deles menor ou igual a - 1 e o outro maior do que - 1 ;
  2. A é vazio;
  3. A possui um único elemento e esse elemento é maior do que 1 ;
  4. A possui um único elemento e esse elemento é menor ou igual a 1 ;
  5. A possui dois elementos, sendo um deles menor ou igual a 1 e o outro maior do que 1 .

Passo 1

Fala aí, pessoal! Como vocês estão? Se liga no que essa questão tá pedindo pra gente: ela quer que o conjunto de soluções do sistema seja descrito usando duas variáveis livres. Mas o que significa isso exatamente?

Olha só! O sistema que a questão nos deu tem 4 incógnitas, mas só 3 equações. Ou seja, já é impossível determinarmos uma solução única pra esse sistema, porque teríamos que ter mais uma equação. Em outras palavras, uma das variáveis já vai ser livre de certeza!

Mas a gente quer duas variáveis livres, não só uma, né? Como proceder? Bom... a gente precisa se livrar de mais uma equação hahah. Porque pensa só: com só duas equações, dá pra gente isolar duas variáveis, uma em cada equação, e essas vão ser as nossas variáveis dependentes. Com duas variáveis dependentes e quatro incógnitas no total, temos 2 variáveis livres! Exatamente o que o enunciado quer.

Vamos tentar ilustrar isso na prática pra ficar mais claro, ok? Vamos pegar as duas primeiras equações do nosso sistema:

x + y - z + α t = 1 x + z - α t = 2

Isolando z na primeira equação, temos:

z = x + y + α t - 1

Substituindo na segunda equação, temos:

x + z - α t = 2

⇒ x + ( x + y + α t - 1 ) - α t = 2

⇒ 2 x + y = 3

⇒ y = 3 - 2 x

Agora substituindo essa expressão de volta na equação de z isolado:

z = x + y + α t - 1

⇒ z = x + ( 3 - 2 x ) + α t - 1

⇒ z = - x + α t + 2

Ora ora, veja então o que a gente conseguiu com esse processo de isolar uma variável em cada equação:

y = 3 - 2 x z = - x + α t + 2

Talvez agora você esteja pensando “tá, e daí? Não só reescreveu de outra forma?” Mas não! Nesse novo formato, a gente pode escolher qualquer valor que a gente quiser para as variáveis x , t e, em seguida, as equações acima determinam quais devem ser os valores de y , z que satisfazem o sistema. Em outras palavras:

  • x , t são variáveis livres;
  • y , z são variáveis dependentes.

Ficou mais claro agora o que eu quis dizer ali em cima com “com só duas equações, dá pra gente isolar duas variáveis, uma em cada equação, e essas vão ser as nossas variáveis dependentes”?

Pois bem, mas esse exemplo foi só hipotético para a gente entender melhor o que estamos fazendo. E agora você deve estar com uma cara bem assim:

“Como assim hipotético se você usou exatamente as equações da nossa questão?” Ótima pergunta! É hipotético porque a gente não usou a terceira equação. E qualquer solução do nosso sistema deve satisfazer não apenas as duas primeiras equações, mas também a terceira!

Mas veja bem: esse exemplo hipotético já nos deu o caminho das pedras! Como vimos nele, a gente precisa ter duas equações pra ter as tais duas variáveis livres que o enunciado quer, certo? Então, o que a gente vai precisar fazer é verificar se existe algum valor de α que faça com que a terceira equação do nosso sistema seja combinação linear das duas primeiras! Porque se ela for combinação linear, então qualquer solução que satisfaça as duas primeiras automaticamente satisfaz a última e a gente teria a solução que já vimos no nosso exemplo hipotético. Show?

Passo 2

Já entendemos então que a nossa estratégia consiste em verificar se existe um α que torne a terceira equação do nosso sistema combinação linear das duas primeiras. Vamos fazer isso usando nosso famoso e velho amigo: escalonamento!

Bora lá. A matriz aumentada do sistema fica:

1 1 - 1 α 1 0 1 - α α 1 1 0 1 2 - 1

Agora, vamos fazer as duas seguintes operações elementares:

  • Multiplicar por - 1 a primeira linha e somar com a segunda ( l 2 ← l 2 - l 1 );
  • Multiplicar por - α a primeira e somar com a terceira ( l 3 ← l 3 - α l 1 ).

Feito isso, temos:

1 1 - 1 α 0 - 1 2 - 2 α 0 1 - α 1 + α - α 2 1 1 - 1 - α

Agora, pra terminar, vamos multiplicar a segunda linha por 1 - α e somar com a terceira ( l 3 ← l 3 + 1 - α l 2 ):

1 1 - 1 α 0 - 1 2 - 2 α 0 0 3 - α α 2 - 2 α 1 1 - 2 α

E agora? Nosso escalonamento tá prontinho e, para que a terceira equação seja combinação linear das outras duas, ela deveria zerar toda no processo. Como ali ela tá toda em função de α , a gente pode agora verificar qual (ou quais) valor(es) de α garantem pra gente que isso aconteça. Certo?

Bom, para que 3 - α dê zero, precisamos ter:

α = 3

Mas para que - 2 α dê zero, precisamos ter:

α = 0

Agora, como que α pode ser 3 e 0 ao mesmo tempo?? Não dá né! Então já dá pra gente ver então que o nosso problema não tem solução :(

Ou seja, a resposta certa é a letra (b)! O conjunto A dos valores de α que fazem com que o sistema tenha um conjunto de soluções descrito por duas variáveis livres é simplesmente vazio, já que o problema não tem solução.

Ficou decepcionado? Pois eu fiquei hahah. Tanto trabalho para o conjunto A ser vazio! Mas não desanima e vamos juntos para mais uma questão!

Resposta

(b) A é vazio;