Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 23 – Prob. 1.8

Determine equações cartesianas para os planos (em R 3 ):

  1. x = s + t y = s - t z = 4 s - 2 t - 2
  2. x = t y = 1 z = s
  3. x = 2 s + 2 y = t - s z = 4 s - 2 t + 1
  4. x = t y = t z = s

Passo 1

Letra a)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = s + t t = x - s t = x - y 2 - x 2 t = x 2 - y 2 y = s - t y = s - x + s y + x = 2 s s = y + x 2 z = 4 s - 2 t - 2 z = 2 y + 2 x - x + y - 2 z = 3 y + x - 2

Assim, a equação cartesiana é:

z = 3 y + x - 2

Letra b)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = t y = 1 z = s

Como não conseguimos substituir s e nem t , z e x podem assumir quaisquer valores e, portanto, a equação cartesiana é:

y = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra c)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = 2 s + 2 2 s = x - 2 s = x 2 - 1 y = t - s y = t - x 2 + 1 t = y + x 2 - 1 z = 4 s - 2 t + 1 z = 2 x - 4 - 2 y - x + 2 + 1 z = x - 2 y - 1

Assim, a equação cartesiana é:

z = x - 2 y - 1

Letra d)

Isolando os parâmetros e substituindo nas outras equações:

x = t t = x y = t y = x y - x = 0 z = s

Como não conseguimos substituir s , z pode assumir qualquer valor e, portanto, a equação cartesiana é:

y - x = 0

Resposta

  1. z = 3 y + x - 2
  2. y = 1
  3. z = x - 2 y - 1
  4. y - x = 0

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