Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

Marco Cabral e Paulo Goldfeld, Curso de Álgebra Linear Fundamentos e Aplicações, 3ª Ed., Rio de Janeiro, Instituto de Matemática, 2012, pp. 23 – Prob. 1.7

Determine a parametrização para o plano (em R 3 ):

a   x + y - z = 2

Determine uma parametrização para as retas (em R 3 )

b   z - x = 1 x + y + z = 0

c   x + y = 1 x - y = 1

Passo 1

Letra ( a )

Como temos uma equação, vamos ter que isolar alguma variável, no caso, irei isolar o z :

z = x + y - 2

x , y , z = x , y , x + y - 2 = 0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1

0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y R

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Letra ( b )

Para começar devemos resolver o sistema achando as soluções:

z - x = 1 z = 1 + x x + y + z = 0 x + y + 1 + x = 0 y = - 2 x - 1

x , y , z = x , - 2 x - 1,1 + x = 0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1

Assim a parametrização é:

0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x R

Letra ( c )

Repetindo os mesmos passos da letra ( b ) :

x + y = 1 x = 1 - y x = 1 x - y = 1 1 - y - y = 1 - 2 y = 0 y = 0

Ihhh, então só vai dar um ponto?? Não!!!! Não se esqueça do z que não apareceu no sistema:

x , y , z = 1,0 , z = 1,0 , 0 + z 0,0 , 1

Assim a parametrização é:

1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z R

Resposta

a   0,0 , - 2 + x 1,0 , 1 + y 0,1 , 1 ,   x , y R

b   0 , - 1,1 + x 1 , - 2,1 ,   x R

c   1,0 , 0 + z 0,0 , 1 ,   z R

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