Exercícios Resolvidos de Equações Cartesianas e Paramétricas

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Enunciado

Determine a parametrização para a reta (em R 3 ):

a   Que contém o ponto ( - 1,2 , - 1 ) e é paralela ao vetor ( 0,0 , 1 )

b   Que pertence ao plano x - y = z - 1 e ao plano 3 x - y + 1 = z

Determine uma parametrização para o plano (em R 3 ) que contém o(s) ponto(s):

c   1,0 , 1 ,   0,1 , 1 ,   - 1,0 , 0

d   3,0 , - 1 e é simultaneamente paralelo aos vetores 2 , - 1,1 e 0,1 , - 1

e   ( - 3,1 , 0 ) e a reta parametrizada por x = t + 1 y = 1 - t z = t - 1

Passo 1

Letra ( a )

Como nós já temos o vetor e o ponto por onde a reta passa, basta montar a parametrização:

- 1,2 , - 1 + t 0,0 , 1 ,   t ∈ R

Letra ( b )

Como pertencem aos dois planos, basta resolver o sistema com as duas equações cartesianas (ou seja, vamos achar a interseção dos dois planos):

x - y = z - 1 ⇒ z = x - y + 1 ⇒ z = 1 - y 3 x - y + 1 = z ⇒ 3 x - y + 1 = x - y + 1 ⇒ 2 x = 0 ⇒ x = 0

x , y , z = 0 , y , 1 - y = 0,0 , 1 + y 0,1 , - 1

E assim a equação paramétrica é:

0,0 , 1 + y 0,1 , - 1 ,   y ∈ R

Passo 2

Letra ( c )

Como temos os pontos, basta definirmos os vetores diretores, com uma origem para os mesmos vetores:

v = 1,0 , 1 - 0,1 , 1 = 1 , - 1,0

u = - 1,0 , 0 - 0,1 , 1 = - 1 , - 1 , - 1

Assim nossa parametrização será:

0,1 , 1 + t 1 , - 1,0 + s - 1 , - 1 , - 1 ,   t , s ∈ R

Letra ( d )

Como já temos os vetores e o ponto, basta montar a parametrização:

3,0 , - 1 + t 2 , - 1,1 + s 0,1 , - 1 ,   s , t ∈ R

Passo 3

Letra ( e )

Podemos ver que a parametrização da reta é:

t + 1 ,   1 - t , t - 1 = 1,1 , - 1 + t 1 , - 1,1

Sendo assim, vemos que é uma reta deslocada da origem. Como ela já tem um vetor diretor, para formar um plano basta achar o segundo. Podemos interpretar o problema agora como um plano que passa pelos pontos 1,1 , - 1 ,   ( - 3,1 , 0 ) e paralelo ao vetor ( 1 , - 1,1 ) :

Sendo assim, vamos achar o segundo vetor diretor:

u = 1,1 , - 1 - - 3,1 , 0 = 4,0 , - 1

Assim nossa parametrização fica:

- 3,1 , 0 + t 4,0 , - 1 + s 1 , - 1,1 ,   t , s ∈ R

Resposta

a   - 1,2 , - 1 + t 0,0 , 1 ,   t ∈ R

b   0,0 , 1 + y 0,1 , - 1 ,   y ∈ R

c   0,1 , 1 + t 1 , - 1,0 + s - 1 , - 1 , - 1 ,   t , s ∈ R

d   3,0 , - 1 + t 2 , - 1,1 + s 0,1 , - 1 ,   s , t ∈ R

e   - 3,1 , 0 + t 4,0 , - 1 + s 1 , - 1,1 ,   t , s ∈ R