Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Barras Horizontais

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Enunciado

O sistema abaixo consiste em uma barra de massa desprezível pivotada na posição indicada pela letra d. As posições indicadas pelas letras de a até f estão espaçadas igualmente. Assinale falso F ou verdadeiro V às afirmações abaixo. Neste item não é necessário justificativa.

        O sistema ficará em equilíbrio se a resultante das forças à esquerda e à direita do pivô forem iguais;

        O sistema ficará em equilíbrio quando θ for igual π / 6 ;

        O sistema ficará em equilíbrio quando θ for igual π / 3 ;

        O sistema ficará em equilíbrio se θ = π / 2 e uma força de 200   N for aplicada na vertical para cima em c;

        O sistema ficará em equilíbrio se θ = π e uma força de 200   N for aplicada na vertical para baixo em c;

Passo 1

Vamos observar uma afirmação de cada vez.

“O sistema ficará em equilíbrio se a resultante das forças à esquerda e à direita do pivô forem iguais”

FALSO

A condição de equilíbrio é que:

∑ τ i → = 0

Então se a resultante das forças forem iguais, nós garantimos que seu somatório seria zero, mas não o dos torques, visto que eles dependem da distância das forças até o pivô.

(Para termos um equilíbrio estático, também seria necessário que ∑ F i → = 0 , mas não vamos considerar isso nessa questão.)

Passo 2

“O sistema ficará em equilíbrio quando θ for igual π / 6

VERDADEIRO

“O sistema ficará em equilíbrio quando θ for igual π / 3

FALSO

O torque que a força em e gera é devido à sua componente vertical.

Se considerarmos que o espaçamento entre cada ponto é l , e como todas as forças fazem 90 ° com a posição do ponto onde atua ( 90 ° em relação a barra), o somatório dos torques fica:

∑ τ i = 200 ⋅ 3 l + 400 sen ⁡ θ ⋅ l - 100 ⋅ 2 l - 300 ⋅ 2 l

Para observarmos os sinais, podemos ou usar a regra da mão direita, ou perceber que as forças F a e F e (nos pontos a e e ) causam uma rotação no sentido horário, enquanto F b e F f (nos pontos b e f ) causam uma rotação no sentido anti-horário.

Se θ = π / 6 , temos sen ⁡ θ = 1 / 2 , e teremos:

∑ τ i = 200 ⋅ 3 l + 400 2 ⋅ l - 100 ⋅ 2 l - 300 ⋅ 2 l

∑ τ i = 200 ⋅ 4 l - 400 ⋅ 2 l = 0

Logo, temos equilíbrio.

Se θ = π / 3 , temos sen ⁡ θ = 3 / 2 , e teremos:

∑ τ i = 200 ⋅ 3 l + 400 3 2 ⋅ l - 100 ⋅ 2 l - 300 ⋅ 2 l

∑ τ i = 200 ⋅ 3 + 3 l - 400 ⋅ 2 l = 200 ⋅ 3 + 3 l - 2 00 ⋅ 4 l ≠ 0

Logo, não temos equilíbrio.

Passo 3

“O sistema ficará em equilíbrio se θ = π / 2 e uma força de 200   N for aplicada na vertical para cima em c

VERDADEIRO

“O sistema ficará em equilíbrio se θ = π e uma força de 200   N for aplicada na vertical para baixo em c;”

VERDADEIRO

Vamos usar o somatório dos torques do passo anterior.

∑ τ j = 200 ⋅ 3 l + 400 sen ⁡ θ ⋅ l - 100 ⋅ 2 l - 300 ⋅ 2 l

Se θ = π / 2   , temos sen ⁡ θ = 1 e logo:

∑ τ j = 200 ⋅ 3 l + 400 ⋅ l - 100 ⋅ 2 l - 300 ⋅ 2 l = 1000 ⋅ l - 800 ⋅ l = 200 ⋅ l

Logo, ainda não temos um equilíbrio. Mas se uma força de 200 N for aplicada na vertical para cima em c , ela faria um torque:

τ = - 200 ⋅ l

Que é exatamente o que precisávamos! Agora sim:

∑ τ i = 200 ⋅ l - 200 ⋅ l = 0

No segundo caso temos θ = π , sen ⁡ θ = 0 .

∑ τ j = 200 ⋅ 3 l - 100 ⋅ 2 l - 300 ⋅ 2 l = - 200 ⋅ l

Ao adicionar a força de 200   N na vertical para baixo em c :

τ = 200 ⋅ l

∑ τ i = - 200 ⋅ l + 200 ⋅ l = 0

Resposta

  F     O sistema ficará em equilíbrio se a resultante das forças à esquerda e à direita do pivô forem iguais;

  V     O sistema ficará em equilíbrio quando θ for igual π / 6 ;

  F     O sistema ficará em equilíbrio quando θ for igual π / 3 ;

  V     O sistema ficará em equilíbrio se θ = π / 2 e uma força de 200   N for aplicada na vertical para cima em c;

  V     O sistema ficará em equilíbrio se θ = π e uma força de 200   N for aplicada na vertical para baixo em c;

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