Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Barras Horizontais

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Enunciado

Uma viga homogênea de 60   k g e 5,0   m de comprimento é sustentada, sem estar fixada, pelas duas pilastras mostradas na figura abaixo, distantes 3,0   m uma da outra. Um garoto de 20   k g começa a caminhar ao longo da viga. Quanto ele pode se afastar da extremidade esquerda da viga sem que ela tombe?

(A)O garoto pode se afastar uma distância de 3,0   m da extremidade esquerda da viga.

(B) O garoto pode se afastar uma distância de 3,5   m da extremidade esquerda da viga.

(C) O garoto pode se afastar uma distância de 4,0   m da extremidade esquerda da viga.

(D)O garoto pode se afastar uma distância de 4,5   m da extremidade esquerda da viga.

(E) O garoto é capaz de alcançar a extremidade direita da viga sem que ela tombe.

Passo 1

A viga inicialmente está apoiada nas duas pilastras.

Mas se o garoto começa a andar muito para o lado direito, talvez a viga comece a...

Tombaaaaaaaar, ahhhh...

Nãoooo podemos deixar que isso aconteça, né.

Então, vamos calcular direitinho qual a distância que o garoto pode se afastar sem que a viga tombe.

Mas como calculamos isso?

Quando o menino está bem antes da posição que faz a viga tombar, temos duas forças normais sustentando o conjunto, uma em cada pilastra:

A medida que o menino anda para a direita, o força normal do pilar da esquerda vai diminuindo e diminuindo até uma situação limite onde ela é nula:

Nesse instante, todo o conjunto está apoiado pela pilastra da direita.

Mas porque essa viga está equilibrada nesse ponto?

Isso acontece porque as forças peso do menino e da viga (cada uma de um lado) geram um torques que se anulam com relação ao ponto da pilastra da direita:

Se o menino andar um pouquinho a mais para a direita essa viga tomba, porque o torque de seu peso P → m será maior que o torque do peso da viga P → v , logo a barra entra em rotação no sentido horário.

Então, vamos calcular a posição do menino que faz esses torques estarem em equilíbrio, assim, achamos a posição limite que o menino pode chegar.

Passo 2

Então, como a barra está em equilíbrio, temos que o torque resultante será nulo.

Vamos calcular o torque resultante com relação ao ponto apoiado da viga:

τ R = 0

O torque resultante será a soma dos torques de cada força:

τ N + τ P v + τ P m = 0

Passo 3

O torque da força normal é nulo, pois essa força está aplicada no próprio ponto de rotação:

τ N = 0

Passo 4

O torques das forças peso não são nulos.

Eles serão dados pelo produto vetorial entre o vetor r → e o vetor força P → :

τ → = r → × P →

Como os vetores r → são perpendiculares aos vetores P → , o módulo desses torques serão dados por:

τ = r F s e n 90 °

τ = r F

Passo 5

O módulo dos torques será:

τ = r F

Mas cada força tenta fazer a viga girar em um sentido diferente, portanto, esses torques terão sinais opostos.

Vamos considerar o torque que faz a viga girar no sentido horário positivo, por livre e espontânea vontade mesmo hahah.

O peso da viga está aplicado ao centro de massa da viga, que se econtra no seu centro.

Então, a distância dessa força à pilastra da direita é:

r = 0,5   m

Então o torque do peso da viga será:

τ v = - r P v

τ v = - 0,5 60 g

O sinal é negativo seguindo nossa conveção de sentido (horário).

Enquanto o torque do peso do menino será:

τ m = + r P m

O sinal é positivo seguindo nossa conveção de sentido (anti-horário).

Como não sabemos a distância ainda, chamaremos de x :

τ m = x 20 g

Passo 6

Agora, vamos à equação do torque resultante de novo:

τ N + τ P v + τ P m = 0

0 - 0,5 60 g + x 20 g = 0

x 20 g = 0,5 60 g

x = 0,5 3

x = 1,5   m

Passo 7

Como a distância do menino à pilastra da direita é 1,5   m , sua distância à extremidade esquerda será:

d = x + 3,0

d = 1,5 + 3,0

d = 4,5   m

Ficamos com a letra (D).

Resposta

Letra (D)

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