Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Cordas

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Enunciado

Um carpinteiro monta uma marquise de madeira de C =   4,00     m de comprimento e massa M   = 300   k g em uma parede de uma loja. A marquise é presa por um pino na parede e por um cabo de aço com L   =   5,00   m de comprimento. O cabo e preso na parede a H   =   4,00   m acima do pino e na marquise a D   =   3,00   m do pino. Despreze a massa do cabo. O sistema esta em equilíbrio. G   =   10   m / s 2 .

a) Determine o vetor tensão no cabo.

b) Determine o vetor força que age no pino devido a marquise.

c) Para testar a estrutura depois de pronta, o carpinteiro se pendura na sua borda. Sabendo

que a tensão máxima que o cabo de aço suporta é de 4.000   N , determine qual a maior massa que o carpinteiro pode ter para que o cabo não arrebente durante o teste. Considere o carpinteiro como uma massa pontual.

Passo 1

a)

Vamos lá. A questão tá pedindo pra gente determinar o vetor tensão.

Ele fala pra gente que o sistema todo tá em equilíbrio. Qual é mesmo a condição de equilíbrio?

∑ F x = 0

E

∑ F y = 0

E

∑ τ → = 0

Beleza, então vamos ver quem são as forças que estão na direção x e na direção y pra gente jogar nessa relação aí, e depois, vamos usar a condição do torque resultante em relçao ao pino ser zero.

Passo 2

Vamos marcar as forças que estão atuando aí no nosso desenho.

Algumas observações importantes:

A marquise tem massa e tá sujeita a atração gravitacional da Terra, então temos o peso.

O fio não tem massa, então não temos o peso do fio;

Temos um fio, então temos uma tração/tensão no fio;

A marquise tá apoiada num pino, então tem uma força que o pino   F P → exerce na marquise. Pra gente entender bem a direção da força, vamos fazer um experimento...

Tenta segurar o seu celular só com o dedão e o dedo indicador e tenta manter o celular na horizontal, mais ou menos assim:

Passo 3

Desenhando as nossas forças, coloquei um ângulo θ ali entre o fio e a horizontal, só pra ficar mais fácil depois, e na figura do lado eu juntei todas as forças em um ponto só:

Agora vamos usar as condições de equilíbrio para as forças na direção x   e y .

∑ F x = 0

F P x - T cos ⁡ θ = 0

∑ F y = 0

F P y + T sen ⁡ θ - M g = 0

Mas reparem que a gente não sabe nada sobre a força que o pino exerce. Então essas condições de equilíbrio não foram muito legais pra esse problema. (Mas elas são uteis para outras problemas, então é bom entender direitinho)

Passo 4

Bom, agora vamos para a última condição de equilíbrio, que o o torque resultante em relação ao pino ser zero.

∑ τ → = 0

τ → F P + τ → T + τ → P = 0

Como F P está em cima do nosso ponto de apoio, τ → F P = 0

Para o torque da tração:

τ → T = r → × T →

Lembrando que r → é o vetor que vai do ponto do eixo de rotação (pino) até o ponto de aplicação da força:

τ → T = D   j ^ × ( T cos ⁡ θ   - î + T sen ⁡ θ ( j ^ ) )  

Resolvendo o produto vetorial:

τ → T = D T sen ⁡ θ   k ^

Sabemos que D = 3   m . Pra calcular o sen ⁡ θ é só olhar pro triângulo retângulo que o fio forma com a parede e a marquise:

sen ⁡ θ = 4 5 = 0,8

Substituindo:

τ → T = 3 ⋅ T ⋅ 0,8   k ^

τ → T = 2,4   T   k ^

Beleza, guarda essa aí.

Vamos agora calcular o torque a força peso exerce no pino:

τ → P = r → × P →

Agora o vetor distância vai ser diferente, porque o peso é aplicado no meio da barra!

τ → P = C 2 î × M g - j ^

Calculando o produto vetorial:

τ → P = - M g C 2 ( k ^ )

E substituindo os valores:

τ → P = - 300 ⋅ 10 ⋅ 4 2 k ^ = - 6000   k ^  

Agora, vamos usar esses valores la na equação de condição de equilíbrio:

τ → F P + τ → T + τ → P = 0

0 + 2,4 T   k ^ - 6000   k ^ = 0

T = 2500   N

Maravilha, essa é a intensidade do vetor tração.

Pra gente achar de fato o vetor, temos que dar suas direções, então vamos usar:

T → = T x î + T y j ^

Mas quem é o nosso T x   e T y ?

Vamos olhar lá na figura:

T x = - T cos ⁡ θ = - 1500

T y = T sen ⁡ θ = 2000

Já calculei o seno e o cosseno olhando pra figura da esquerda.

Então:

T → = - 1500 î + 2000 j ^   ( N )

Show!

Passo 5

(b)

Agora ele quer saber F → P . Como já sabemos T → , ficou moleza.

É só usar aquelas equações da condição de equilíbrio para a força resultante ser zero:

∑ F x = 0

F P x - T x = 0

Substituindo T x , que achamos na letra a:

F P x = 1500   N

Para as forças em y:

∑ F y = 0

F P y + T y - M g = 0

Substituindo T y e Mg:

F P y = - 2000 + 3000

F P y = 1000   N

Então o vetor F → P y

F → P y = F x   î + F P y j ^

F → P y = 1500   î + 1000 j ^   ( N )

Maravilha! Vamos pra letra c.

Passo 6

(c)

Agora o carpinteiro se pendura na borda da marquise:

Eita, essa força F c → que o carpiteniro faz, gera um torque novo no nosso pino.

Como queremos que a marquise fique no lugar, a condição de equilíbrio ainda vale:

∑ τ → = 0

τ → F P + τ → T + τ → P + τ → F c = 0

Vamos ver quanto vale o torque que o carpinteiro produz:

τ → F c = r → × F c →

τ → F c = C ( î ) × m g ( - j ^ )

Substituindo os valores:

τ → F c = - 4 ⋅ m ⋅ 10   k ^

Como queremos saber a massa que o carpinteiro tem para que a tensão seja máxima, vamos o usar seu valor máximo:

T = 4000   N

Portanto o

τ → T = D î × ( T cos ⁡ θ - î   + T sen ⁡ θ   j ^ )

Resolvendo o produto vetorial:

τ → T = D T sen ⁡ θ   k ^

Substituindo os valores:

τ → T = 3 ⋅ 4000 ⋅ 0,8   k ^

τ → T = 9600   k ^   ( N )

Beleza, substituindo esses valores lá na equação de equilíbrio:

τ → F P + τ → T + τ → P + τ → F c = 0

0 + 9600 - 6000 - 4 ⋅ m ⋅ 10   = 0

Ajeitando isso:

m = 9600 - 6000 4 ⋅ 10

m = 90   k g

Portanto a maior massa possível para o carpinteiro é 90   k g .

Resposta

a)

T → = - 1500 î + 2000 j ^   ( N )

b) F → P y = 1500   î + 1000 j ^   ( N )

c)

90   k g

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