Exercícios Resolvidos de Equilíbrio Estático em Cordas

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Enunciado

A figura mostra uma viga vertical uniforme de peso P e comprimento L , presa a uma dobradiça na extremidade inferior. Uma força horizontal de módulo F 0 constante é aplicada a uma altura

y . Na extremidade superior, a viga está presa a um cabo que faz um ângulo θ com a horizontal.

( a ) Determine a tensão no cabo em termos de y ,   L ,   θ   e   F 0 .

b Seja F h o módulo da componente horizontal da força que a dobradiça exerce sobre a viga.

Esboce o gráfico da função F h y no intervalo 0 ≤ y ≤ L     , indicando claramente os valores de F h ( 0 ) e F h ( L ) .

Passo 1

a   A viga está em equilíbrio e por isso podemos aplicar a 2ª Lei de Newton e dizer que ∑ F = 0 e ainda por estar em equilíbrio também podemos usar a equação ∑ M = 0 .

Então o primeiro passo em uma questão desse tipo é fazer o diagrama de força. As forças atuantes são: T ,   F 0 e F h :

Porém precisamos decompor a tensão, para que todas estejam no eixo x ou y .

Agora faremos o equilíbrio de forças no eixo x .

x →   T . cos ⁡ θ + F h = F 0

Fazendo o mesmo para o eixo y :

y → T s e n   θ + P = N

Como o item a pede que a tensão no cabo seja dada apenas por F 0 ,   θ .   y e L , não podemos usar as equações acima, pois não sabemos o valor da Normal, nem de F h . Então teremos que usar o momento em relação a dobradiça, pois assim sumimos com a força F h e conseguiremos calcular a Tensão no cabo.

Fazendo ∑ M d o b r a d i ç a = 0 , temos

T . cos ⁡ θ .   L - F 0 . y = 0

Show de bola, conseguimos uma equação onde conhecemos todas as incógnitas, exceto T que é o que queremos. Isolando a tensão chegamos em:

T = F 0 y L c o s   θ

Passo 2

b   Queremos esboçar um gráfico mostrando o valor da força F h . Então para isso o primeiro passo é descobrir a equação dessa força.

Agora que já temos a tensão, fazer isso é fácil, basta substituirmos o valor de T na equação de equilíbrio (força) no eixo x :

x →   T . cos ⁡ θ + F h = F 0

Substituindo T , temos:

x →   F 0 y L c o s   θ . cos ⁡ θ + F h = F 0

F 0 . y L + F h = F 0

Isolando F h :

F h = F 0 - F 0 y L = F 0 1 - y L

Essa equação é linear, certo? Se você se esqueceu, linear é quando só há termos de primeira ordem na equação, tipo y = a x + b .

Sendo linear, essa equação representa uma reta. Então basta marcamos dois pontos que teremos a reta determinada e assim será moleza fazer o gráfico.

Os pontos o problema já falou qual escolheremos: y = 0 e y = L . Primeiro descobriremos F h quando y = 0 :

F h y = 0 = F 0 1 - 0 L

F h y = 0 = F 0

E agora descobrindo o outro ponto:

F h y = L = F 0 1 - L L

F h y = L = F 0 . 0 = 0

Marcando os dois pontos e traçando a única reta possível, temos:

Repara aqui que como ele quer a força F h em função de y, colocamos o y no eixo horizontal (porque ele é a variável independente) e a força no eixo vertical.

Resposta

a   T = F 0 y L c o s   θ

b  

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